Berechnen Sie, in Abhängigkeit von a, b, K den \operatorname{Grad}[E: K] .

Question

Aufgabe:

Seien \( K \) ein endlicher Körper, \( a, b \in K \) und \( f=\left(x^{2}-a\right)\left(x^{2}-b\right) \in K[x] \). Sei \( E \) der Zerfällungskörper von \( f \) über \( K \).

Berechnen Sie, in Abhängigkeit von \( a, b, K \) den \( \operatorname{Grad}[E: K] \).

Problem/Ansatz:

Die Nullstellen sind ja $$+-\sqrt{a}$$ und $$+-\sqrt{b}$$. aber wie mache ich das jetzt?

K soll ja endlich sein. Aber das macht für mich nicht viel Sinn.

Comments

Da musst du wohl Fallunterscheidungen treffen.

So gilt wohl für jedes K:

Wenn a=b=0 ist, dann ist E=K also \( \operatorname{Grad}[E: K] =1 \) .

etc.

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Ja genau. Aber für welche K. Oder ist das K egal? Mir ist nämlich keine Unterscheidung über ein endliches K eingefallen.

Aber vielen Dank :)

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Für a=b=0 gilt das wohl für jedes K.

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Achso ja das dachte ich mir. Nur meine weiteren Überlegungen, waren nie so, dass ich ein anderes K hatte. Bis auf F_p Galois Körper.