Lagrange Funktion Gleichungsystem

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie das Minimum der Funktion \( f(x, y)=x^{2}+8 x y+6 y^{2} \) unter der Nebenbedingung \( x+2 y=150 \).

Problem/Ansatz:

Gelöst werden soll die Aufgabe mit dem Lagrange Ansatz. Ich bin neu in dem Thema und habe mal meine aktuelle Rechnung aufgeschrieben. Konkret habe ich 4 Fragen..

1 Frage) Ich habe 8+12y=-2λ wie löse ich hier weiter auf?

2 Frage) in der nächsten Zeile habe ich x+12 =-2λ-> Hier meine Frage, wie löse ich das auf, wenn ich auf der linken Seite zwei variablen stehe habe?

3 Frage) Man könnte es laut Buch auch lösen, indem man den λ Parameter entfernt, indem man die 1. Zeile * 2 nimmt und diese Subtrahiert wird von der zweiten Zeile. Anschließend setzt man die erhaltene Gleichung in die 3 Gleichung ein. Hier meine Frage, warum überhaupt in die dritten Gleichung und nicht in die zweite ?

4) Wenn ich schaffe im Gleichungssystem den λ Parameter verschwinden zu lassen, kann ich es dann immer in ein beliebiges gleichungssystem einsetzen, ausrechnen und komme dann auf die Lösung?

Text erkannt:

1. Zuerst die Nebenbedingung aufschreiben und Null setzen: \( x+2 y=150 \quad \mid-150 \)
\( x+2 y-150=0 \) <--- Das bezeichnen wir als unsere Nebenbedingung \( G(x, y) \)
2) Lagrange Funktion aufbauen:
\( \begin{array}{l} L(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda^{*} g(x, y) \\ =x^{2}+8 x y+6 y^{2}+\lambda^{*}(x+2 y-150) \quad \mid \text { Klammer auflösen } \\ =x^{2}+8 x y+6 y^{2}+\lambda x+\lambda 2 y-\lambda 150 \end{array} \)
3) Ableitungen von \( L x, L y, L \lambda \)
\( \begin{array}{l} L x=2 x+\lambda \\ L y=8+12 y+2 \lambda \\ L \lambda=x+2 y-150 \end{array} \)
4) Gleichungssystem aufbauen und null setzen
\( \left[\begin{array}{ll} 2 x+\lambda & =0 \\ 8+12 y+2 \lambda & =0 \\ x+12 y+2 \lambda & =0 \end{array}\right] \)
\( 2 x+\lambda=0 \mid-\lambda \)
\( 2 x=-\lambda \mid: 2 \)
\( \begin{array}{l} x=-1 / 2 \lambda \\ 8+12 y+2 \lambda=0 \quad \mid-2 \lambda \\ 8+12 y \quad=-2 \lambda \end{array} \)
wie gehts hier weiter?
\( x+12 y+2 \lambda=0 \quad \mid-2 \lambda \)
\( x+12 y=-2 \lambda \mid \) Wie geht es hier weiter, ich habe zwei Variable auf der linken Seite?

Answer 1

Aloha :)

Die Lagrange-Funktion hast zu korrekt ermittelt:$$L(x;y;\lambda)=(x^2+8xy+6y^2)\pink+\lambda(x+2y-150)\quad;\quad\lambda\ne0$$Ob vor dem Lambda ein Minuszeichen oder ein Pluszeichen steht, ist egal. Ich habe dein Pluszeichen übernommen. Wichtig ist, dass \(\lambda\ne0\) sein muss, andernfalls hättest du die Nebenbedingung nicht berücksichtigt.

Beim Ableiten hat sich aber der Fehlerteufel eingeschlichen, denn es gilt:$$\frac{\partial L}{\partial x}=(2x+8y)+\lambda\cdot1=2x+8y+\lambda\quad\implies \pink{2x+8y+\lambda=0}$$$$\frac{\partial L}{\partial y}=(8x+12y)+\lambda\cdot2=8x+12y+2\lambda\quad\implies\pink{4x+6y+\lambda=0}$$$$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=2x+2y-150\quad\implies\green{x+2y=150}$$

Die Ableitung nach \(\lambda\), also hier die grüne Gleichung, ist genau die Nebenbedinung. Die interessiert uns zunächst gar nicht. Die beiden pinken Gleichungen stellen wir nach dem Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) um:$$\lambda=-2x-8y\quad;\quad \lambda=-4x-6y$$Da \(\lambda\ne0\) sein muss, können wir die erhaltenen Gleichungen dividieren:$$\frac{\lambda}{\lambda}=\frac{-2x-8y}{-4x-6y}\implies1=\frac{x+4y}{2x+3y}\implies2x+3y=x+4y\implies\blue{x=y}$$

Im Extremum muss also \(\blue{x=y}\) gelten. Das setzen wir nun in die Nebenbedingung ein:$$\green{150=x+2y}=x+2x=3x\implies x=50\implies y=50$$

Das Extremum liegt also bei \((x;y)=(50;50)\).

Comments

Vielen deine Ausführliche Erklärung

Answer 2

Anmerkung: Variablen direkt (!) hinter Zahlen schreiben. Gewöhn dir das an.

Deine Ableitungen nach x und y stimmen nicht. Schau da nochmal drüber. Vielleicht kannst du das System ja dann lösen. ;)

Comments

Danke für die Antwort.

bei Lx= habe ich die x²=2x und λx abgeleitet ist doch nur λ übrig,

bei Ly= 8y wird zu 8, 6y² wird zu 12y und λ2y wird zu 2λ. Ich weiß in beiden Fällen nicht wo da der Fehler sein, soll. Kannst du mich da bitte aufklären?

Ich habe Jahrelang, immer die die Variable nach der Zahl geschrieben, ich werde aber mal mich umstellen, falls meine Schreibweise Semantisch falsch ist.

---

Warum leitest du 8xy nicht ab? Und auch bei der anderen Ableitung fehlt das x. In der Funktion steht 8xy!

Die Variable nach der Zahl ist ja auch besser. Also \(2\lambda \) und nicht \(\lambda 2\). Mathematisch ist beides okay, aber letzteres ist wesentlich unübersichtlicher und führt schnell zu Fehlern.

---

Ich habe beide angepasst: Lx 2x+8y+λ  und Ly=8x+12y+2λ. Ich weiß dennoch nicht wie ich beim auflösen mit dem Variablen verfahren soll.

Ich glaube, mein Proble ist, ich weiß nicht, nach was ich in den jeweiligen Gleichungsysteme auflösen muss

---

Du hast ja nur ein Gleichungssystem. Dann versuche doch mal \(lambda\) verschwinden zu lassen. Dann hast du doch nur noch 2 Unbekannte. Rechne einfach mal ein bisschen herum. Du weißt doch, wie man Gleichungssysteme löst.

Answer 3

\( f(x, y)=x^{2}+8 x y+6 y^{2} \) soll minimal werden.
\( x+2 y=150 \)→  \( x=150-2y \)

\( f( y)=(150-2y)^{2}+8 (150-2y) y+6 y^{2}=22500+600y-6y^2 \)

\( f_y( y)=600-12y \)

\( 600-12y=0 \) → \( y=50 \)      \( x=50 \)

Laut Wolfram gibt es kein Minimum aber ein Maximum bei obigen Werten.

Comments

Es soll über den Lagrange-Ansatz gelöst werden. Das hat der FS doch extra geschrieben!

---

Habe ich schon gelesen. Wieso soll ein Minimum gefunden werden, wenn es gar keins gibt?

---

Dann lautet die Lösung entweder, dass es keins gibt oder die Aufgabenstellung enthält einen Fehler. Zum Beispiel ein falsches Vorzeichen.

---

\(L(x,y,λ)=x^{2}+8 x y+6 y^{2}+λ(x+2 y-150) \)

\(L_x(x,y,λ)=2x+8 y+λ \)         1.)   \(2x+8 y+λ=0 \)

\(L_y(x,y,λ)=8 x +12y+2λ \)       2.)  \(4 x +6y+λ=0 \)

\(L_λ(x,y,λ)=x+2 y-150\)         3.)  \(x+2 y-150=0\)

1.)-2.):

\(-2x+2y=0\)   \(y=x\)

3.)  \(x+2 x-150=0\)      \(x=50\)      \(y=50\)