Monotonie: Zeigen Sie, dass die Funktion f(x)=x^2-2x für x>1 streng monoton steigt.

Question

1) Zeigen Sie, dass die Funktion f(x)=x²-2x für x>1 streng monoton steigt.

2) Untersuchen Sie die Funktion f(x)=(1/3)x³-x²+4 mit Hilfe des Monotoniekriteriums auf streng Monotonie.

3) Weisen Sie mit Hilfe der Monotoniedefiniton -also ohne Verwendung der Ableitung- nach, dass die Funktion f auf dem angegebenen Intervall streng monoton steigt.

          a. f(x)=x²-6x+9,   I=(3;5)              b. f(x)=x²-8x,    I=(4;5)

4) Untersuchen Sie die Funktion f auf Monotonie.

     a. f(x)=x⁵+x³           b. f(x)=x⁴+x              

         

Answer 1

1) Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) = x^2 - 2·x für x > 1 streng monoton steigt.

f'(x) = 2·x - 2

f'(x) > 0 für x > 1


2) Untersuchen Sie die Funktion f(x) = 1/3·x^3 - x^2 + 4 mit Hilfe des Monotoniekriteriums auf streng Monotonie.

f'(x) = x^2 - 2·x = x·(x - 2)

Streng monoton steigend x·(x - 2) > 0
x < 0 ∨ x > 2

Streng monoton fallend für
0 < x < 2


3) Weisen Sie mit Hilfe der Monotoniedefiniton -also ohne Verwendung der Ableitung- nach, dass die Funktion f auf dem angegebenen Intervall streng monoton steigt.         
a. f(x) = x^2 - 6x + 9,   I=(3;5)             
b. f(x)=x^2 - 8x,    I=(4;5)

Leider kenne ich eure Definition nicht.


4) Untersuchen Sie die Funktion f auf Monotonie.

a. f(x) = x^5+x^3

monoton steigend für alle x

b. f(x) = x^4 + x

Streng monoton steigend für x^4 + x > 0
x < -1 ∨ x > 0

Streng monoton fallend für
-1 < x < 0