Streckung eines Rechtecks um den Faktor k

Question

Aufgabe:

Durch Streckung des Rechteck ABCD mit AB = $\begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix}$ und BC = $\begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix}$ wird dessen Flächeninhalt um den Faktor 5 vergrößert. Die Seitenverhältnisse bleiben unverändert. Berechnen Sie eine Seitenlänge des entstehenden, vergrößerten Vierecks.

Ansatz:

|$\begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix}$| * |$\begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix}$| = 3$\sqrt{5}$.

A(neu) = 15$\sqrt{5}$FE

k*9*k*$\sqrt{5}$ = 15$\sqrt{5}$

k=$\sqrt{5/3}$

Problem:

Fläche vergrößert sich um den Faktor 5.

—> Länge und Breite vergrößern sich um den Faktor k=$\sqrt{5}$

Answer 1

Länge und Breite vergrößern sich um den Faktor k=$\sqrt{5}$

Das ist logisch.

Aus a*b=A und (k*a)*(k*b)=5A folgt k=$\sqrt{5}$.

Du darfst nur nicht vergessen, die gestellte Frage damit zu beantworten.

Comments

Warum bekomme ich aber bei meinem Ansatz einen falschen Faktor raus?

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Der Faktor ist k=$\sqrt{5}$.

Multipliziere nun mit diesem Faktor die ursprünglichen Seitenlängen.

Die erste Seitenlänge war 3 und ist nun $3 \sqrt{5}$

Die zweite Seitenlänge war  $\sqrt{5}$ und ist nun $\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5$.

Warum bekomme ich aber bei meinem Ansatz einen falschen Faktor raus?

Statt

k*9*k*$\sqrt{5}$ = 15$\sqrt{5}$

muss es

k*$\sqrt{9}$*k*$\sqrt{5}$ = 15$\sqrt{5}$

sein.

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Den Faktor $\sqrt{5}$ habe ich erst in der Lösung gefunden.

Ich wollte mithilfe des Betrags von AB und BC auf k kommen, was ja eigentlich auch funktionieren sollte, ist bloß umständlicher.

Bei meinem Ansatz komme ich aber nur auf den Faktor $\sqrt{5/3}$ und ich weiß nicht wo mein Fehler liegt.

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Statt

k*9*k*$\sqrt{5}$ = 15$\sqrt{5}$

muss es

k*$\sqrt{9}$*k*$\sqrt{5}$ = 15$\sqrt{5}$ sein.

Answer 2

Fläche vergrößert sich um den Faktor 5.

—> Länge und Breite vergrößern sich um den Faktor k=$\sqrt{5}$

Länge 1. Seite also $|\begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix}| \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot \sqrt{5}$

Länge 2. Seite $|\begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} | \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$

==>  A(neu) = 15$\sqrt{5}$FE