Streckung eines Rechtecks um den Faktor k

Question

Aufgabe:

Durch Streckung des Rechteck ABCD mit AB = \( \begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix} \) und BC = \( \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} \) wird dessen Flächeninhalt um den Faktor 5 vergrößert. Die Seitenverhältnisse bleiben unverändert. Berechnen Sie eine Seitenlänge des entstehenden, vergrößerten Vierecks.

Ansatz:

|\( \begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix} \)| * |\( \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} \)| = 3\( \sqrt{5} \).

A(neu) = 15\( \sqrt{5} \)FE

k*9*k*\( \sqrt{5} \) = 15\( \sqrt{5} \)

k=\( \sqrt{5/3} \)

Problem:

Fläche vergrößert sich um den Faktor 5.

—> Länge und Breite vergrößern sich um den Faktor k=\( \sqrt{5} \)

Answer 1

Länge und Breite vergrößern sich um den Faktor k=\( \sqrt{5} \)

Das ist logisch.

Aus a*b=A und (k*a)*(k*b)=5A folgt k=\( \sqrt{5} \).

Du darfst nur nicht vergessen, die gestellte Frage damit zu beantworten.

Comments

Warum bekomme ich aber bei meinem Ansatz einen falschen Faktor raus?

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Der Faktor ist k=\( \sqrt{5} \).

Multipliziere nun mit diesem Faktor die ursprünglichen Seitenlängen.

Die erste Seitenlänge war 3 und ist nun \(3 \sqrt{5} \)

Die zweite Seitenlänge war  \( \sqrt{5} \) und ist nun \( \sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5 \).

Warum bekomme ich aber bei meinem Ansatz einen falschen Faktor raus?

Statt

k*9*k*\( \sqrt{5} \) = 15\( \sqrt{5} \)

muss es

k*\(\sqrt{9}\)*k*\( \sqrt{5} \) = 15\( \sqrt{5} \)

sein.

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Den Faktor \( \sqrt{5} \) habe ich erst in der Lösung gefunden.

Ich wollte mithilfe des Betrags von AB und BC auf k kommen, was ja eigentlich auch funktionieren sollte, ist bloß umständlicher.

Bei meinem Ansatz komme ich aber nur auf den Faktor \( \sqrt{5/3} \) und ich weiß nicht wo mein Fehler liegt.

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Statt

k*9*k*\( \sqrt{5} \) = 15\( \sqrt{5} \)

muss es

k*\(\sqrt{9}\)*k*\( \sqrt{5} \) = 15\( \sqrt{5} \) sein.

Answer 2

Fläche vergrößert sich um den Faktor 5.

—> Länge und Breite vergrößern sich um den Faktor k=\( \sqrt{5} \)

Länge 1. Seite also \( |\begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix}| \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot \sqrt{5}\)

Länge 2. Seite \(|\begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} | \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 \)

==>  A(neu) = 15\( \sqrt{5} \)FE