Vektorraumbeweis Kommutativität

Question

Aufgabe:

V: = {(a_1, a_2, a_3, a_4)^T: 3a_1 - 2a_4 = 0} Beweise das V ein Vektorraum ist

Problem/Ansatz:

Wenn ich die Kommutativität mit + nachweisen will, reicht es dann wenn ich

3(a_1 + b_1) - 2(a_4 + b_4) = 3(b_1 + a_1) - 2(b_4 + a_4)

schreibe?

Comments

Zeige doch, dass V ein Untervektorraum des K^4 ist. Das erspart dir viele Rechenschritte...

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wie meinst du das?

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Genau so wie ich es geschrieben habe.

Man zeigt, dass V nicht leer ist

Und dann, dass wenn v,w∈V und λ∈K auch v+λw∈V gilt.

Mehr ist nicht zu tun. Assoziativität, Kommutativität, neutrale Elemente, Inverse Elemente, Verträglichkeitsrelationen ... kann man nachrechnen, muss man aber nicht.

(Deine Rechnung zeigt übrigens nicht die Kommutativität der Addition)

Answer 1

Nur diese Gleichung würde ich nicht hinschreiben: Es seien \(\vec{a}, \vec{b}\in V\), dann folgt aus \(\vec{a}+\vec{b}\in V\) die linke Seite deiner Gleichung. Aus der rechten Seite folgt dann aber auch \(\vec{b}+\vec{a}\in V\).

Comments

aber das ist doch das gleiche? beweist meine Gleichung nicht das gefragte?

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ist die Lösung auch:

$3(a_1 + b_1) - 2(a_4 + b_4)
= 3(b_1 + a_1) - 2(b_4 + a_4) = 0$

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oder ist das das richtige? Ich verstehe nicht was ich mit dieser Gleichung 3a1-2a4=0 anfangen soll... wenn die nicht da stehen würde wäre ja das hier auf jeden Fall richtig.

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Das, was du als letztes gepostet hast ist nur die formale Definition für Kommutativität. Natürlich zeigt deine Gleichung von oben das Gefragte. Es ging mir nur darum, dass es den Beweis auch ordentlich aufschreibst und nicht nur die Gleichung da "hinklatschst". :)

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Natürlich zeigt deine Gleichung von oben das Gefragte

Geht es auch etwas genauer?

Ich empfehle die obigen Kommentare von MHM