Zeigen Sie, dass /p keine rationale Zahl ist,

Question

Sei p eine beliebige Primzahl. Zeigen Sie, dass /p keine rationale Zahl ist,

Text erkannt:

H2 Existenz von Wurzeln aus Primzahlen
Sei \( p \) eine beliebige Primzahl. Zeigen Sie, dass \( \sqrt[k]{p} \) keine rationale Zahl ist, d.h.
\( \sqrt[k]{p} \notin \mathbb{Q}, \quad \text { für } k \in \mathbb{N}, k \geq 2 . \)

Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass für jede Primzahl \( p \) und jedes \( k \geq 2, n \in \mathbb{Z} \) gilt: \( p\left|n^{k} \Rightarrow p\right| n \).
Erinnerung: \( a \mid b \quad \Leftrightarrow \quad \exists c \in \mathbb{Z}: a \cdot c=b \).

Kann mir hier jemand helfen

Answer 1

Angenommen \( \sqrt[k]{p} \in \mathbb{Q}\)

==> \(  \exists a\in \mathbb{N } \exists b \in \mathbb{Z }  \sqrt[k]{p}   =  \frac{a}{b} \) und ggT(a,b)=1

==>  \(  \exists a\in \mathbb{N } \exists b \in \mathbb{Z }   (\frac{a}{b})^k = p \)

==> \(   \frac{a^k}{b^k} = p \) ==>  \(p \cdot b^k = a^k \)

==>  p | a^k   ==>   p|a.

==>   \(  \exists c\in \mathbb{N }  p \cdot c = a \)

Mit \(p \cdot b^k = a^k \) folgt daraus

\(p \cdot b^k = (p \cdot c )^k  =p^k \cdot c^k \)

Division durch p ergibt

\(b^k  =p^{k-1} \cdot c^k \) . Wegen k≥2 ist also k-1≥1, also

 \( p |  p^{k-1} \cdot c^k \) also auch   \( p | b^k \) und

damit auch p|b. Somit p|a und p|b im Widerspruch zu ggT(a,b)=1.