Gleichungen mit 2 Variablen separieren

Question

Aufgabe:

Gleichungen mit 2 Variablen nach Variablen separieren

Problem/Ansatz:
Gegeben x₀=0,2 und y₀=0, 2 (vorgegebene Startwerte).

Nun verändern sich x und y von einem Tag zum nächsten nach folgenden Formeln:
x_neu=1,023*x_alt+0,16*0,018*y_alt
y_neu=1,018*y_alt


Nun hätte ich gerne explizite Formeln für x_i und y_i für die Werte am i-ten Tag.

y_i ist noch einfach:
y_i=1,018ⁱ offensichtlich.

Eingesetzt in die x Formel ergibt sich dann
x_i+1=1,023*x_i+0,16*0,018*1,018ⁱ *y₀


Nun weiß ich nicht, wie ich auf eine explizite Formel komme.
Weil im Endeffekt wird von einem zum nächsten Tag der x Wert mit einer Konstanten multipliziert und ein Potenzterm abhängig von i dazu addiert.

Comments

Kannst du bitte prüfen, ob ich diene Frage richtig bearbeitet habe?

Dein Einsetzen von y_i ist wohl nicht richtig ausgeführt worden.

---

genau, passt so, danke! :-)

Answer 1

y_i=1,018ⁱ offensichtlich.

Es ist $y_i = 1.018^i\cdot y_0$.

x_neu=1,023*x_alt+0,16*0,018*y_alt
y_neu=1,018*y_alt

Allgemeiner formuliert

        $\begin{aligned}x_i&=ax_{i-1}+by_{i-1}\\y_i&=cy_{i-1}\end{aligned}$

also

        $y_i = c^iy_0$

und somit

(1)        $x_i=ax_{i-1}+bc^{i-1}y_{0}$.

Also ist auch

        $\begin{aligned}x_{i+1}&=ax_{i-1+1}+bc^{i-1+1}y_{0}\\&=ax_{i}+bc^{i}y_{0}\end{aligned}$.

Einsetzen von (1) liefert

    $\begin{aligned}x_{i+1}&=a\left(ax_{i-1}+bc^{i-1}y_{0}\right)+bc^{i}y_{0}\\&=a^2x_{i-1}+\left(ac^{i-1}+c^i\right)by_0\end{aligned}$.

Stelle daraus eine Vermutung über den Zusammenhang von $x_i$, $x_0$ und $y_0$ auf. Beweise die Vermutung mit vollständiger Induktion.

Comments

Ich werf mal einfach sowas wie x_i = aⁱx₀+(Summe t=0 bis i-1 von (a^tc^i-1-t))by₀

in den Raum.Aber vollständige Induktion will ich mir dazu echt nicht antun, mir graut es jetzt schon davor.Ist meine Vermutung überhaupt richtig?

---

x_i = aⁱx₀+(Summe t=0 bis i-1 von (a^tc^i-1-t))by₀

So lautete auch meine Vermutung.

Aber vollständige Induktion will ich mir dazu echt nicht antun

Hab ich ebenfalls keine Lust zu.

Ist meine Vermutung überhaupt richtig?

Das hätte ich dir beantworten können, wenn ich Lust zu einer vollständigen Induktion gehabt hätte.

---

habs nachgeprüft, es stimmt. nächste frage wäre nun ob man die summe schöner hinbekommt, also explizit, ohne jetzt summenglieder aufzuaddieren

edit: hat sich erledigt, hab auch ne explizite formel dafür gefunden :-)

---

kommt sowas raus:

x_i = aⁱx₀+by₀\frac{c^i-2aⁱ-c^i-1}{\frac{a}{c} \-1} \