Schnittgerade von zwei Ebenen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die Schnittgerade von T und T′ zur betrachteten Schar gehört.

g: \( \begin{pmatrix} 2,5\\0\\3,5 \end{pmatrix} \) + t \( \begin{pmatrix} 0\\-10a\\2/a \end{pmatrix} \)

T : 5x₁ + 4x₂ + 5x₃ - 30 = 0 

T´: -5x₁ + 4x₂ + 5x₃ - 5 = 0

Problem/Ansatz:

Laut Lösung reicht es, wenn folgendes untersucht wird:

Die Koordinaten des Punkts (2,5 | 0 | 3,5) erfüllen die Gleichungen von T und T′ .

Und (0|-10a|2/a) * (5|4|5) = 0.

Doch für eine formal korrekte Lösung müsste doch auch der Normalvektor von T´ berücksichtig werden und geschaut werden, ob der Richtungsvektor von g orthogonal zu diesem ist?

Hier kann man schnell sehen, dass dies der Fall ist.

Answer 1

Und (0|-10a|2/a) * (5|4|5) = 0

Gilt ebenso für T'. Beachte die x-Koordinate.

Answer 2

Doch für eine formal korrekte Lösung müsste doch auch der Normalvektor von T´ berücksichtig werden und geschaut werden, ob der Richtungsvektor von g orthogonal zu diesem ist?

Du hast recht. Formal sollte man es entweder rechnen oder begründen, dass es auch für T' gilt. Ohne Begründung oder Rechnung wäre es formal unvollständig.