Aufgabe:
Eine Zufallsvariable \( X \) habe die Verteilungsfunktion
\( F_{X}(t):=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { für } t<1 \\ \frac{n}{10} & \text { für } n \leq t<n+1 \\ 1 & \text { für } t \geq 10 . \end{array} \quad(n=1, \ldots, 9)\right. \)
(iv) Bestimmen Sie die Menge der 0.26 -Quantile.
(v) Bestimmen Sie die Menge der 0.7-Quantile.
Lösung:
(iv) Damit \( x_{0.26} \) ein \( 0.26- \) Quantil ist, müssen
\( P\left(X \leq x_{0.26}\right) \geq 0.26 \quad \text { sowie } \quad P\left(X \geq x_{0.26}\right) \geq 1-0.26=0.74 \)
gelten. Da \( X \) gleichverteilt ist, muss wegen der ersten Bedingung \( x_{0.26} \geq 3 \) und wegen der zweiten Bedingung \( x_{0.26} \leq 3 \) sein. Also ist die Menge der 0.26 -Quantile durch \( \{3\} \) gegeben.
(v) Damit \( x_{0.7} \) ein \( 0.7- \) Quantil ist, müssen
\( P\left(X \leq x_{0.7}\right) \geq 0.7 \quad \text { sowie } \quad P\left(X \geq x_{0.7}\right) \geq 1-0.7=0.3 \)
gelten. Da \( X \) auf \( \{1,2, \ldots, 10\} \) gleichverteilt ist, bedeutet die erste Bedingung, dass \( x_{0.7} \geq 7 \) ist und die zweite Bedingung bedeutet, dass \( x_{0.7} \leq 8 \) ist. Also ist die Menge der 0.7 -Quantile gegeben durch \( [7 ; 8] \).
Problem/Ansatz:
Also ich habe hier auch die Lösung gegeben, aber ich verstehe leider noch nicht ganz, warum es bei dem 0.26 Quantil größer gleich 3 und kleiner gleich 3 sein muss, aber bei dem 0.7 Quantil muss es größer gleich 7 und kleiner gleich 8 sein, also meine Frage ist warum es bei dem 0.7 Quantil auch nicht kleiner gleich 7 sein muss? Das ist es, was ich nicht verstehe, vielleicht habe ich auch was übersehen.
