Vielleicht habe ich auch was wichtiges übersehen? wieso man bei den beiden Quantilen so in der Lösung vorgeht

Question

Aufgabe:

Eine Zufallsvariable \( X \) habe die Verteilungsfunktion

\( F_{X}(t):=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { für } t<1 \\ \frac{n}{10} & \text { für } n \leq t<n+1 \\ 1 & \text { für } t \geq 10 . \end{array} \quad(n=1, \ldots, 9)\right. \)

(iv) Bestimmen Sie die Menge der 0.26 -Quantile.

(v) Bestimmen Sie die Menge der 0.7-Quantile.

Lösung:

(iv) Damit \( x_{0.26} \) ein \( 0.26- \) Quantil ist, müssen

\( P\left(X \leq x_{0.26}\right) \geq 0.26 \quad \text { sowie } \quad P\left(X \geq x_{0.26}\right) \geq 1-0.26=0.74 \)

gelten. Da \( X \) gleichverteilt ist, muss wegen der ersten Bedingung \( x_{0.26} \geq 3 \) und wegen der zweiten Bedingung \( x_{0.26} \leq 3 \) sein. Also ist die Menge der 0.26 -Quantile durch \( \{3\} \) gegeben.

(v) Damit \( x_{0.7} \) ein \( 0.7- \) Quantil ist, müssen

\( P\left(X \leq x_{0.7}\right) \geq 0.7 \quad \text { sowie } \quad P\left(X \geq x_{0.7}\right) \geq 1-0.7=0.3 \)

gelten. Da \( X \) auf \( \{1,2, \ldots, 10\} \) gleichverteilt ist, bedeutet die erste Bedingung, dass \( x_{0.7} \geq 7 \) ist und die zweite Bedingung bedeutet, dass \( x_{0.7} \leq 8 \) ist. Also ist die Menge der 0.7 -Quantile gegeben durch \( [7 ; 8] \).

Problem/Ansatz:

Also ich habe hier auch die Lösung gegeben, aber ich verstehe leider noch nicht ganz, warum es bei dem 0.26 Quantil größer gleich 3 und kleiner gleich 3 sein muss, aber bei dem 0.7 Quantil muss es größer gleich 7 und kleiner gleich 8 sein, also meine Frage ist warum es bei dem 0.7 Quantil auch nicht kleiner gleich 7 sein muss? Das ist es, was ich nicht verstehe, vielleicht habe ich auch was übersehen.

Answer 1

Weißt du, wie man \(P(X\leq k)\) (bzw. \(\geq k\)) bei einer Gleichverteilung berechnet? Damit \(P(X\leq k)\geq 0,26\) ist, muss \(X\) doch mindestens 3 sein und damit \(k=3\). Für \(k=2\) hättest du ja nur \(P(X\leq 2)=0,2\), da wir uns auf dem Intervall \([0; 10]\) befinden. Klar soweit?

Beim zweiten Fall funktioniert das dann genauso. Überlege dir, welchen Wert \(k\) annehmen muss, damit \(P(X\leq k)\geq 0,7\) gilt.

Frag nach, wenn noch etwas unklar ist.

Comments

Ok danke, ich verstehe noch nicht ganz, warum bei den 0.7 Quantilen auch die 8 dazu gehört, also habe mir überlegt k ist gleich 7 damit

P(X kleiner gleich k) größer gleich 0.7 gilt

aber wenn ich doch auch k=8 nehme, dann wäre das ja größer gleich 0.8 und das macht wieder nicht so Sinn für mich.

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Wenn es \( \geq 0,8 \) ist, dann ist es doch automatisch auch \( \geq 0,7 \). Deswegen steht da ja auch, dass \( k \geq 7 \) sein muss und nicht \( =7 \). Die 8 gehört übrigens nicht dazu. Das Intervall muss also \( [7; 8) \) lauten, also rechts offen sein.