Vielleicht habe ich auch was wichtiges übersehen? wieso man bei den beiden Quantilen so in der Lösung vorgeht

Question

Aufgabe:

Eine Zufallsvariable $X$ habe die Verteilungsfunktion

$F_{X}(t):=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { für } t<1 \\ \frac{n}{10} & \text { für } n \leq t<n+1 \\ 1 & \text { für } t \geq 10 . \end{array} \quad(n=1, \ldots, 9)\right.$

(iv) Bestimmen Sie die Menge der 0.26 -Quantile.

(v) Bestimmen Sie die Menge der 0.7-Quantile.

Lösung:

(iv) Damit $x_{0.26}$ ein $0.26-$ Quantil ist, müssen

$P\left(X \leq x_{0.26}\right) \geq 0.26 \quad \text { sowie } \quad P\left(X \geq x_{0.26}\right) \geq 1-0.26=0.74$

gelten. Da $X$ gleichverteilt ist, muss wegen der ersten Bedingung $x_{0.26} \geq 3$ und wegen der zweiten Bedingung $x_{0.26} \leq 3$ sein. Also ist die Menge der 0.26 -Quantile durch $\{3\}$ gegeben.

(v) Damit $x_{0.7}$ ein $0.7-$ Quantil ist, müssen

$P\left(X \leq x_{0.7}\right) \geq 0.7 \quad \text { sowie } \quad P\left(X \geq x_{0.7}\right) \geq 1-0.7=0.3$

gelten. Da $X$ auf $\{1,2, \ldots, 10\}$ gleichverteilt ist, bedeutet die erste Bedingung, dass $x_{0.7} \geq 7$ ist und die zweite Bedingung bedeutet, dass $x_{0.7} \leq 8$ ist. Also ist die Menge der 0.7 -Quantile gegeben durch $[7 ; 8]$.

Problem/Ansatz:

Also ich habe hier auch die Lösung gegeben, aber ich verstehe leider noch nicht ganz, warum es bei dem 0.26 Quantil größer gleich 3 und kleiner gleich 3 sein muss, aber bei dem 0.7 Quantil muss es größer gleich 7 und kleiner gleich 8 sein, also meine Frage ist warum es bei dem 0.7 Quantil auch nicht kleiner gleich 7 sein muss? Das ist es, was ich nicht verstehe, vielleicht habe ich auch was übersehen.

Answer 1

Weißt du, wie man $P(X\leq k)$ (bzw. $\geq k$) bei einer Gleichverteilung berechnet? Damit $P(X\leq k)\geq 0,26$ ist, muss $X$ doch mindestens 3 sein und damit $k=3$. Für $k=2$ hättest du ja nur $P(X\leq 2)=0,2$, da wir uns auf dem Intervall $[0; 10]$ befinden. Klar soweit?

Beim zweiten Fall funktioniert das dann genauso. Überlege dir, welchen Wert $k$ annehmen muss, damit $P(X\leq k)\geq 0,7$ gilt.

Frag nach, wenn noch etwas unklar ist.

Comments

Ok danke, ich verstehe noch nicht ganz, warum bei den 0.7 Quantilen auch die 8 dazu gehört, also habe mir überlegt k ist gleich 7 damit

P(X kleiner gleich k) größer gleich 0.7 gilt

aber wenn ich doch auch k=8 nehme, dann wäre das ja größer gleich 0.8 und das macht wieder nicht so Sinn für mich.

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Wenn es $\geq 0,8$ ist, dann ist es doch automatisch auch $\geq 0,7$. Deswegen steht da ja auch, dass $k \geq 7$ sein muss und nicht $=7$. Die 8 gehört übrigens nicht dazu. Das Intervall muss also $[7; 8)$ lauten, also rechts offen sein.