Kurvenintegral Greenscher Integralsatz Fläche

Question

ich stehe vor folgendem Problem:

Ich möchte das Kurvenintegral \( \int\limits_{C}^{} \) (\( x^{2} \)y-2\( y^{3} \)+\( sinh^{2} \)(\( cos^{5} \)(x)), \( x^{3} \)-4x\( y^{2} \)+sin(5\( e^{y} \) )) • d(x,y) berechnen.

Dabei ist γ die Parameterdarstellung von C mit γ(t) = (5cos(t), 2sin(t)) und γ:[0,2π] → \( R^{2} \)

Für mich sieht das nach einer Lösung mit Hilfe des Greenschen Integralsatzes aus.

also \( \int\limits_{C}^{} \)f • d(x) = \( \int\limits_{D}^{} \) \( \frac{df2}{dx} \) - \( \frac{df1}{dy} \) d(x,y) , wobei C die positive Randkurve vom Normalbereich D ist.

Wie löse ich nun die rechte Seite des Integralsatzes, sprich, wie erhalte ich D u was setzte ich dafür im Integral ein?

Am Ende müsste ja ein mehrdimensionales Integral rauskommen, also \( \int\limits_{}^{} \)\( \int\limits_{D}^{} \)

Comments

Die Kurve beschreibt den Rand einer Ellipse mit den Halbachsen der Länge 5 und 2- Ist das die Info, die Du brauchst?

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Leider nein.

Ich suche nach den Grenzen für  \( \int\limits_{}^{} \)\( \int\limits_{D}^{} \) \( \frac{df2}{dx} \) - \( \frac{df1}{dy} \) d(x,y)

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Kennst Du denn die Gleichung für die o.g. Ellipse?

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Du meinst \( \frac{x^{2}}{a^{2}} \)+\( \frac{y^{2}}{b^{2}} \)=1?

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Ja, mit a=5 und b=2

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Heißt das jetzt, dass ich für die Grenzen Folgendes einsetze:

\( \int\limits_{2}^{5} \)\( \int\limits_{0}^{2π} \) \( \frac{df2}{dx} \) - \( \frac{df1}{dy} \) d(x,y)

?

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Nein. Es wäre

$$\int_{-5}^5\left(\int_{-2\sqrt{1-\frac{x^2}{25}}}^{2\sqrt{1-\frac{x^2}{25}}} \ldots\;dy\right) \;dx$$

Allerdings solltest Du mal den Integranden berechnen, um zu prüfen, ob evtl. elliptische Koordinaten besser geeignet wären.

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Ich verstehe nicht, wie du auf 5 und -5 kommst. Beim Inneren Integral sind die Grenzen durch umformen der Ellipsengleichung hergeleitet worden, warum sind sie im äußeren jedoch ohne den "anderen Anteil"? Nimmt man eine Grenze fix an und die andere ist dann davon abhängig?

Sollte ich dann auf Zylinderkoordinaten wechseln? Dann müsste ich x = r * cos(φ) und y = r * sin(φ). Wie erhalte ich dann r?

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Ich glaube, Du bist mit dem Begriff "Normalgebiet" noch nicht ausreichend vertraut. Mach Dir eine Skizze von der Ellipse. Alle Punkte dieser Ellipse haben eine x-Koordinate im Intervall [-5,5]. Die zugehörigen y- Genzwerte ergeben sich dann durch Auflösen der Ellipsengleichung nach x.

Ob Du ein anderes Koordinatensystem verwenden sollst / willst, würde ich erst überlegen, wenn ich den Integranden sehe.

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Der Integrand lautet nach der obigen Berechnung 2\( x^{2} \)+2\( y^{2} \). Das sollte eigentlich auch einfach in kartesischen Koordinaten zu integrieren sein.

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Korrigiere: Kartesische Koordinaten sind hier nicht sehr freundlich

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Nicht sehr freundlich, aber nicht unmöglich. Wie wäre es dann mit elliptischen Koordinaten:

$$x=5r\cos(t), \quad y=2r\sin(t), \qquad 0 \leq r\leq 1, \; 0 \leq t \leq 2\pi$$

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Entschuldige bitte die späte Antwort,

diese Koordinatenform ist sehr hilfreich