Unterschied zwischen den Spurpunkten einer Geraden und deren Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen...

Question

Aufgabe:

Ich habe ein Vorstellungproblem im R³ zum Unterschied zwischen den Spurpunkten einer Geraden und deren Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen...

Problem/Ansatz:

Rechnerisch ist das schon klar, für den Spurpunkt mit der xy-Ebene setzt man z=0, löst auf und setzt dann ein für die Koordinaten.

Beim Schnittpunkt mit der x-Achse setze ich x=... und die anderen beiden 0, berechne den Parameter und setze den wieder in x=... ein.

Nur kann ich mir nicht vorstellen, was ich da berechne....

Answer 1

Ich greife mal deine Überlegung auf und betrachte einen beliebigen Spurpunkt einer Geraden mit der \(xy\)-Ebene. Einen solchen Spurpunkt muss es nicht geben, aber wenn es ihn gibt, dann wird er die Form $$\begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix}\quad\textrm{ für }x,\:y\in\mathbb{R}$$ haben. Nun kann es vorkommen, dass beispielsweise auch \(y=0\) ist und unser Spurpunkt auch ein Spurpunkt auf der \(xz\)-Ebene ist. Damit liegt er natürlich auf der \(y\)-Achse.

Comments

Gibt es da Einschränkungen, also wenn eine Gerade einen Spurpunkt einer Koordinatenebene hat, dann kann es keinen Schnittpunkt mit einer bestimmten Achse geben?

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Nein, es ist so: Schneidet die Gerade eine der Koordinatenachsen, dann liegt dieser Schnittpunkt auf zwei Koordinatenebenen. Du kannst dir ja überlegen, wie viele verschiedene Fälle alles so denkbar sind.

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Meinst du bei deinem Beispiel, der Punkt liegt auf der y-Achse? Oder meinst du eigentlich die y-Achse?

Jetzt nochmal ganz klar: wenn die gerade einen Durchstoßpinkt mit der xy Achse hat, kann er dann noch auf der x- bzw. y-Achse liegen?

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Geht die Gerade durch einen Punkt auf der y-Achse, dann auch durch die xy-Ebene und die yz-Ebene.

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Ahhh, dann liegt der fallen Spurpunkt und Schnittpunkt mit der Achse zusammen, richtig? Umgekehrt gilt das aber nicht, wenn es einen Spurpunkt gibt, muss er nicht auf der Achse liegen?

Nach der Logik:

Gibt es also einen Schnittpunkt mit der x-Achse, dann ist das gleichzeitig der Spurpunkt mit der xy- und xz-Achse.

Und gibt es einen Schnittpunkt mit der z-Achse, dann ist das gleichzeitig Spurpunkt der xz- und yz-Achse.

So?

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Ja, so ist es.

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DANKE!

Eine letzte Rückfrage noch:

Wie viele Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen kann eine Gerade denn dann maximal haben?

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Eine Gerade kann mit den Koordinatenachsen null, einen oder zwei Schnittpunkte haben.

Außerdem kann eine Gerade auch durch den Ursprung laufen. Dann hat sie genau einen Schnittpunkt mit den Achsen, allerdings mit allen drei Achsen gleichzeitig.

Answer 2

Ich habe ein Vorstellungproblem im R³ zum Unterschied zwischen den Spurpunkten einer Geraden

Die Spurpunkte einer Geraden sind die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen.

und deren Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen...

Die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen ist doch etwas völlig anderes.

Comments

Zeichne es dir mal in Geogebra für ein Beispiel ein. Markiere dort dann auch die Spurpunkte.

Schau dir dazu auch Videos an:

https://studyflix.de/mathematik/spurpunkte-4220

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Die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen ist doch etwas völlig anderes.

Warum ist das etwas völlig anderes?

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Ja. Warum ist der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene etwas anderes als der Schnittpunkt einer Geraden mit einer anderen Geraden.

Es gibt 4 Lagebeziehungen zwischen Geraden. Welche?

Es gibt 3 Lagebeziehungen zwischen einer Geraden und einer Ebene. Welche?

Eine Gerade muss mind. einen Schnittpunkt mit den Koordinatenebenen haben, aber braucht keinen mit den Koordinatenachsen zu haben.

Answer 3

Beim Schnittpunkt mit den Achsen berechnest Du den Schnittpunkt zweier Geraden. Den muss es aber gar nicht geben (wir sind ja im \(\R^3\)).

Und den berechnet man auch anders als Du sagst:
Bei der x-Achse ist z.B. y=z=0. Also sind zwei Gleichungen zu lösen. Es gibt aber nur einen Parameter für diese zwei Gleichungen. Wenn es einen gibt, der beide erfüllt, gibt es einen Schnittpunkt. Sonst nicht.

Answer 4

Unterschied zwischen den Spurpunkten einer Geraden und deren Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen...

Ich glaube, du vermischst da zwei völlig unterschiedliche Aufgabenstellungen.

Spurpunkten einer Geraden

meint Punkte, in denen die Gerade die xy-Ebene, die yz-Ebene bzw. die xz-Ebene durchstößt.

In

deren Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen

ist das Wort "deren" vermutlich nicht abgebracht. In den typischen Aufgaben zum Thema geht es NICHT darum, wo eine GERADE Koordinatenachsen schneidet. Bei

Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen

geht es üblicherweise darum, wo eine EBENE von den Koordinatenachsen durchstoßen wird.