Zeige das eine Menge wegzusammenhängend ist

Question

Guten Abend.

Ich soll zeigen, das die Menge

{(x,sin(1/x)) | x > 0} wegzusammenhängend ist. Wie gehe ich da vor? Also ich weiss ich muss da irgendwie eine stetige Abbildung finden, die zwei beliebige Punkte verbindet, aber wie finde ich soetwas?

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Irgendwie verstehe ich das Problem noch nicht: Wenn \((a,\sin(1/a))\), \((b,\sin(1/b))\) mit \(a<b\) Punkte der Menge sind, dann ist doch

$$(x,\sin(1/x)), \quad x \in [a,b]$$

ein verbindender Weg??

Answer 1

Generell gilt folgendes Lemma: Ist \(f:X\to Y\) eine stetige Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen und \(X\) ist wegzusammenhängend, dann ist auch \(\operatorname{bild}(f)\) wegzusammenhängend.

Wieso? Wenn du beliebige \(p_1,p_2\in\operatorname{bild}(f)\) hast, dann gibt es nach Definition des Bildes \(x_1,x_2\in X\) mit \(f(x_1)=p_1,f(x_2)=p_2\). Durch Wegzusammenhang von \(X\) gibt es einen stetigen \(x_1\)-\(x_2\)-Weg \(\gamma\), der in \(X\) verläuft. Dann ist \(f\circ\gamma\) ein stetiger \(p_1\)-\(p_2\)-Weg, der in \(\operatorname{bild}(f)\) verläuft, damit ist Wegzusammenhang von \(\operatorname{bild}(f)\) gezeigt.

Wie kannst du dieses Lemma hier, das bestimmt in der Vorlesung kam, hier geschickt anwenden? Kannst du eine geeignete stetige Funktion \(f\) mit wegzusammenhängendem Definitionsbereich finden, sodass deine Menge einfach nur das Bild dieser Funktion ist? Eigentlich steht es schon da in der Definition der Menge.

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Eigentlich steht es schon da in der Definition der Menge.

Und in meinem Kommentar :-)