Zeige das eine Menge wegzusammenhängend ist

Question

Guten Abend.

Ich soll zeigen, das die Menge

{(x,sin(1/x)) | x > 0} wegzusammenhängend ist. Wie gehe ich da vor? Also ich weiss ich muss da irgendwie eine stetige Abbildung finden, die zwei beliebige Punkte verbindet, aber wie finde ich soetwas?

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Irgendwie verstehe ich das Problem noch nicht: Wenn $(a,\sin(1/a))$, $(b,\sin(1/b))$ mit $a<b$ Punkte der Menge sind, dann ist doch

$$(x,\sin(1/x)), \quad x \in [a,b]$$

ein verbindender Weg??

Answer 1

Generell gilt folgendes Lemma: Ist $f:X\to Y$ eine stetige Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen und $X$ ist wegzusammenhängend, dann ist auch $\operatorname{bild}(f)$ wegzusammenhängend.

Wieso? Wenn du beliebige $p_1,p_2\in\operatorname{bild}(f)$ hast, dann gibt es nach Definition des Bildes $x_1,x_2\in X$ mit $f(x_1)=p_1,f(x_2)=p_2$. Durch Wegzusammenhang von $X$ gibt es einen stetigen $x_1$-$x_2$-Weg $\gamma$, der in $X$ verläuft. Dann ist $f\circ\gamma$ ein stetiger $p_1$-$p_2$-Weg, der in $\operatorname{bild}(f)$ verläuft, damit ist Wegzusammenhang von $\operatorname{bild}(f)$ gezeigt.

Wie kannst du dieses Lemma hier, das bestimmt in der Vorlesung kam, hier geschickt anwenden? Kannst du eine geeignete stetige Funktion $f$ mit wegzusammenhängendem Definitionsbereich finden, sodass deine Menge einfach nur das Bild dieser Funktion ist? Eigentlich steht es schon da in der Definition der Menge.

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Eigentlich steht es schon da in der Definition der Menge.

Und in meinem Kommentar :-)