Berechnen Sie ein Polynom p ∈ ℚ[X] mit p(1) = 0, p(2) = 1, p(3) = −1, p(4) = 2.

Question

a) n Studenten sollen so auf k Räume aufgeteilt werden, dass in jedem Raum gleich viele Studenten sind. Das gelingt nicht für k = 2, 3, 4, 5, 6 Räume, weil jeweils genau ein Student übrig bleibt. Erst bei k = 7 ist eine gleichmäßige Aufteilung möglich. Wie groß ist n (mindestens)?
b) Berechnen Sie ein Polynom p ∈ ℚ[X] mit p(1) = 0, p(2) = 1, p(3) = −1, p(4) = 2.
c) Bestimmen Sie ein p ∈ Q[X] mit [−2X + 5]_{∼(X−2)(X−3)} ∩ [ \( \frac{1}{2} \) X]_{∼(X−2)(X−4)} = [p]_{∼(X−2)(X−3)(X−4)}. Warum ist dieses Problem lösbar, obwohl (X-2)(X-3) und (X-2)(X-4) teilerfremd sind?

Comments

a)

Gesucht ist die kleinste Zahl der Form n•60+1, die durch 7 teilbar ist, also 301.

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Danke für die Antwort!

Answer 1

Berechnen Sie ein Polynom p ∈ ℚ[X] mit p(1) = 0, p(2) = 1, p(3) = −1, p(4) = 2.

Ansatz p(x)=ax^3+bx^2+cx+d. Dann folgt:

 0 = a+b+c+d
1 =8a+4b+2c+d
-1=27a+9b+3c+d
 2= 256a+64b+4c+d

gibt \( a=\frac{-8}{9},b=\frac{23}{6},c=\frac{-77}{18},d=\frac{4}{3}   \).

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Vielen Dank!