Steckbriefaufgabe: Polynom p : R → R usw., so dass p(−1) = 2, p(1) = 1, p' (−1) = 1 und p' (1) = 1 gelten.

Question

Aufgabe:

ich lerne für eine Abschlussklausur in Mathe und bin gerade bei Aufgaben, die einen höheren Schwierigkeitsgrad haben.

Eine Aufgabe habe ich überhaupt nicht verstanden und ich weiß auch nicht wie man da vorgehen muss.

Ich schreibe die ganze Aufgabenstellung auf. Vielleicht hilft mir ja jemand.

Nachtrag: Es müsste heißen:

Gesucht ist ein Polynom p : R → R mit möglichst kleinem Grad, so dass 
p(−1) = 2, p(1) = 1, p' (−1) = 1 und

p' (1) = 1 gelten. 

a) Finden Sie ein solches Polynom p und beweisen Sie, dass es die gewünschten Eigenschaften hat.

b) Zeigen Sie, dass es kein Polynom kleineren Grades als von ihnen in (a) gefundene Polynom p gibt, das die gewunschten Eigenschaften hat.

Vielen Dank schon mal für jede Hilfe:)

LG

Comments

Gesucht ist ein Polynom p : R → R mit möglichst kleinem Grad, so dass
p(−1) = 2, p(1) = 1, p(−1) = 1 und p(1) = 1 gelten.

Kannst du mal die Angaben überprüfen? So ist p nicht rechtseindeutig.

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p(−1) = 2
p(−1) = 1

An 1 x-Stelle 2 Funktionswerte ???

Stell einmal ein Foto der Aufgabe ein.

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a) Finden Sie ein solches Polynom p und beweisen Sie, dass es die gewünschten Eigenschaften hat.

Soll man zunächst ein Polynom finden und danach beweisen, dass es die gewünschten Eigenschaften besitzt? Die übliche Vorgehensweise über ein lineares Gleichungssystem macht es doch gerade umgekehrt: Man fordert die gewünschten Eigenschaften und findet damit dann ein Polynom mit diesen Eigenschaften. Anschließend muss nichts mehr bewiesen werden.

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Korrigierte Version in Fragestellung kopiert.

Answer 1

Ansatz p(x)=ax³+bx²+cx+d.   Dann ist f '(x)=3ax²+2bx+c.

Wegen p(−1) = 2, p(1) = 1 gilt (1) 2=-a+b-c+d und (2) 1=a+b+c+d

Wegen p' (−1) = 1 und p' (1) = 1 gilt: (3) 1=3a-2b+c  und  (4) 1=3a+2b+c.

System(1),(2),(3),(4) lösen.

Comments

tut mir leid ich habe 2 sachen falsch aufgeschrieben. Es müsste heißen:

Gesucht ist ein Polynom p : R → R mit möglichst kleinem Grad, so dass 
p(−1) = 2, p(1) = 1, p' (−1) = 1 und

p' (1) = 1 gelten. 

tut mir leid. 

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Antwort geändert!

Answer 2

p (-1) = 2
p (1) = 1
p ' (-1) = 1
p ' (1) = 1

-a + b - c + d = 2
a + b + c + d = 1
3a - 2b + c = 1
3a + 2b + c = 1

p(x) = 0,75·x^3 - 1,25·x + 1,5

Bei Bedarf nachfragen

Comments

danke für deine Antwort.

Ich kann nachvollziehen, wie du auf das polynom kommst aber ich verrechne mich immer und weiß leider auch nicht wo.

Für:

1. -a + b - c + d = 2

2. a + b + c + d = 1

kommt für a, b und c

a = - 0.5 - c

c = - 1.25 - b

b = 0

das kann ja nicht sein so hab ich dann:

a = -1.75

b = 0

c = - 1.25

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Maschinell ergibt sich mit den Gleichungen von georgborn.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-a+%2B+b+-+c+%2B+d+%3D+2,++a+%2B+b+%2B+c+%2B+d+%3D+1,++3a+-+2b+%2B+c+%3D+1+,+3a+%2B+2b+%2B+c+%3D+1

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a = - 0.5 - c

c = - 1.25 - b

b = 0

das kann ja nicht sein so hab ich dann:

a =-0.5 - (-1.25) = -0.5 + 1.25 = 0.75 

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Die Berechnungen meines Matheprogramms
stimmen. Die Proben bestätigen dies

Irgendwo muß du einen Rechenfehler haben.