Kurze Frage: Richtungsableitung

Question

Hallo zusammen,

Ich habe eine Funktion von ℝ² nach ℝ² gegeben. In der Aufgabe vorher sollte man die Ableitung dieser mehrdimensionalen Funktion berechnen, das habe ich auch gemacht und als Ergebnis eine 2x2-Matrix erhalten.

Jetzt soll man die Richtungsableitung der Funktion in Richtung (1,-2) bestimmen. Feste Werte für x und y sind nicht gegeben, nur diese Richtung. Theoretisch weiß ich, wie man die Richtungsableitung mit dem Gradienten in einem festen Punkt berechnet, das ist jetzt aber eine andere Situation. Soll ich jetzt einfach (1,-2) für x und y einsetzen, oder was ist zu tun?

Danke und LG :)

Answer 1

Aloha :)

Du hast eine Funktion \(\vec f(x;y)=\binom{f_1(x;y)}{f_2(x;y)}\) gegebeben.

Ihre Ableitung, die Jacobi-Matrix, entält die Gradienten der Komponentenfunktionen als Zeilenvektoren. Das ist in deinem Fall eine \(2\times2\)-Matrix:$$D\vec f=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y}\\[1ex]\frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y}\end{array}\right)$$

Die Richtungsableitung in Richtung \(\binom{1}{-2}\) erhältst du, indem du die Jacobi-Matrix mit dem normierten Richtungsvektor multiplizierst:$$D(\vec f|\vec n)=D\vec f\cdot\vec n\quad;\quad\vec n\coloneqq\frac{1}{\sqrt5}\binom{1}{-2}$$

Answer 2

Hallo

nein du sollst wohl einfach den grad mit dem Richtungsvektor multiplizieren, wenn kein spezieller Punkt gefragt ist.