Wahrscheinlichkeit, dass in Ihrer Übungsgruppe (genau) 2 Personen am selben Tag Geburtstag haben?

Question

Aufgabe:

Angenommen, jedes Jahr hätte exakt 365 Tage (d.h. Februar hätte 28 Tage) und die Geburtstage seien gleichmäßig über das Jahr verteilt. Weiter gebe es in jeder der sechs  Übungsgruppen genau 40 Teilnehmer.

Wie wahrscheinlich ist es, dass in Ihrer Übungsgruppe 2 Personen am selben Tag Geburtstag haben?
Problem/Ansatz:

Mein Problem hier ist, dass ich nicht verstehe, wie die Aufgabe richtig gemeint ist. Da hier nichts von mindestens steht, handelt es sich ja nicht um das Geburtstagsparadoxon im klassischen Sinn. Es geht wohl darum, dass genau 2 Personen, der 40 in der Gruppe, am selben Tag Geburtstag haben, nicht mehr und nicht weniger. Ihr könnt ja mal sagen, was ihr denkt, worum es hier genau geht.

Ich kam dann zu dem Ansatz:

\( P=\binom{40}{2} \times \frac{1}{365} \times\left(\frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \cdots \times \frac{327}{365}\right) \)

Es gibt ja \(\binom{40}{2}\) Möglichkeiten 2 von 40 Personen auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 Personen am selben Tag Geburtstag haben, ist \(\frac{1}{365}\) und der Rest ergibt sich aus der Tatsache, dass die restlichen 38 Personen an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben müssen.

Ich habe aber das Gefühl, dass das so nicht ganz stimmt. Hoffe mir kann jemand weiterhelfen.

Liebe Grüße

Comments

Ich bin der Meinung, dass das von dir als fehlend empfundene "mindestens" implizit mitgedacht worden ist.

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Hmm okay. Weißt du aber, ob meine Lösung zu der Frage, wie ich sie verstanden habe, richtig wäre?

Und ob die folgende Lösung richtig wäre, wenn es mit mindestens gemeint war?

Text erkannt:

Gegenwahrscheinlichkeit: 1 - Wahrscheinlichkeit, dass alle 40 Personen unterschiedliche Geburtstage haben.
\( \begin{array}{l} \mathbb{P}(\text { alle unterschiedliche Geburtstage })=\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdots \cdots \frac{326}{365}=\prod \limits_{i=0}^{39} \frac{365-i}{365} \approx 0,109=10,9 \% \\ \mathbb{P}(\text { mindestens zwei Personen haben denselben Geburtstag })=1-\prod \limits_{i=0}^{39} \frac{365-i}{365}=89,1 \% \end{array} \)

Answer 1

Da hier nichts von mindestens steht, handelt es sich ja nicht um das Geburtstagsparadoxon im klassischen Sinn.

Es ist aber meist "mindestens" gemeint.

Wenn du sagst: Ich habe 10 Euro in der Geldbörse, dann hast du mindestens 10 Euro dabei.

Ansonsten sollte in der Mathematik immer stehen: genau 2

So lautet m. W. eine ungeschriebene ??? Konvention.

Comments

Ja okay, macht Sinn. Kannst du mal bitte oben im Kommentar schauen, ob meine Lösung so richtig wäre?

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https://matheguru.com/stochastik/geburtstagsproblem.html

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Das sieht gut aus. Lässt sich aber etwas einfacher über Fakultäten berechnen, wenn der TR das mitmacht.

1 - 365! / ((365 - 40)!·365^40) = 0.8912

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Lässt sich aber etwas einfacher über Fakultäten berechnen.

Die Formel steht in meinem Link, der Grund ihn zu posten.

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Die Formel steht in meinem Link, der Grund ihn zu posten.

Ich lese mir ja meist nicht mal alle gemachten Antworten durch, geschweige denn jeden Artikel hinter irgendwelchen geposteten Links.

Du darfst als Zitat auch immer das wichtigste aus einem Artikel posten, was du sagen möchtest.

Weiterhin bin ich für Kontroll-Lösungen und um zu beurteilen, ob der Fragesteller richtig gerechnet hat, brauchte ich doch eh eine Vergleichslösung.

Ich finde es nur Schade, dass du in letzter Zeit keine Lösung mehr postest, sondern hauptsächlich nur Rechnungen.

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Weiterhin bin ich für Kontroll-Lösungen und um zu beurteilen, ob der Fragesteller richtig gerechnet hat, brauchte ich doch eh eine Vergleichslösung.

Nein. Es gibt immer mehrere Lösungswege. Ob der FS richtig gerechnet hat, kann man nur sehen, wenn man seine Rechnung kennt. Solange zu warten braucht halt etwas Geduld. Die hat anscheinend nicht jeder Antworter.

Ist immer dasselbe, aber bei solchen unsinnigen Aussagen kann ich nicht immer die Klappe halten.

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Du darfst als Zitat auch immer das wichtigste aus einem Artikel posten, was du sagen möchtest.

Die ganze Arbeit wollte ich dem TS nicht abnehmen. Der Link bietet zudem eine gute Hinführung.

Weiterhin bin ich für Kontroll-Lösungen und um zu beurteilen, ob der Fragesteller richtig gerechnet hat, brauchte ich doch eh eine Vergleichslösung.

Ich habe dich nicht kritisieren wollen und sehe es so wie du im Gegensatz zu manch anderem.

Ich finde es nur Schade, dass du in letzter Zeit keine Lösung mehr postest, sondern hauptsächlich nur Rechnungen.

Ich möchte, dass der TS über den Rechenweg nachdenkt und ggf. nachfragt. Ich selber habe oft aus Rechenwegen erst richtig verstanden, warum das Sinn macht. So prägen sich Sachverhalte mir am besten ein, was bei anderen anders sein mag.

Ich denke auch an Tschakabumba und seine um möglichst ausführlichen Antworten, die auch wiederholen, was man vlt. vergessen oder übersehen hat.

Weggelassene Zwischenschritte bereiten oft Problem. Was für den Profi banal ist, muss es für den Laien nicht sein, der auch noch andere Fächer hat. Gym-Lehrer u.a. unterrichten "nur" zwei aus guten Gründen, heute mehr den je.

25 oder 26 Stunden wollen erstmal vorbereitet und unterrichtet werden.

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Nein. Es gibt immer mehrere Lösungswege. Ob der FS richtig gerechnet hat, kann man nur sehen, wenn man seine Rechnung kennt. Solange zu warten braucht halt etwas Geduld. Die hat anscheinend nicht jeder Antworter.

Ich habe den Lösungsweg des Fragestellers und seine Lösung beurteilt. Wie ich sagte, sieht das gut aus. Man hätte es nur evtl. ohne Produktzeichen mit Fakultäten schreiben können. Das ist aber vom Rechenknecht abhängig.

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Bei 365! (= ca. 10^778) setzen die normalen TR längst aus. Meiner geht bis 69! = ca. 10^98

365^40 packt auch kein normaler. Ich war daher bei wolfram.

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@mc Deine Hilfe in diesem Fall finde ich auch in Ordnung. Mein Kommentar bezog sich auf Dein allgemeines Statement.

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Ich mache grundsätzlich hier keine allgemeinen Statements die sich auf jede Lage anwenden lassen.

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Hier wurde ja viel rumdiskutiert. Danke für alle Antworten, ich hoffe in der Aufgabe war auch "mindestens" gemeint. Leider hat nur keiner drauf geantwortet, ob meine Lösung im originaler Post richtig wäre, wenn man davon ausgeht, dass genau 2 Personen den selben Geburtstag haben sollen.

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Ich habe darauf nicht geantwortet, da für mich klar war, dass hier auch mind. gemeint ist.

Aber ja auch der Ansatz mit genau 2 wäre richtig.

P = (40 über 2)·365/365·1/365·364!/((364 - 38)!·365^38) = 0.2602

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Ja, hab mich jetzt auch damit abgefunden, dass mind. gemeint ist.

Es hat mich nur trotzdem interessiert, ob es richtig gewesen wäre.

Vielen dank!

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Ich erläutere das meist auch mit Geld.

Wenn jemand fragt, ob ich 5 Euro habe und ich antworte nein, dann lüge ich, weil wenn ich mehr als 5 Euro habe, dann habe ich auch 5 Euro.

Wenn deine Mutter fragt, ob du ein Stück Schokolade gegessen hast und du sagst: "Nein", weil es ja eigentlich 4 Stücke waren, dann lügst du. Weil du hast dann eben auch ein Stück gegessen.

Letztendlich kennst du sicher auch den Fakt, dass es Monate mit 28, 30 und 31 Tagen gibt. Wenn ich jetzt frage wie viele Monate haben 28 Tage ist die Antwort 31, weil 28 Tage haben sie alle, die meisten sogar noch ein paar Tage mehr.