Satz von Lebesgue/von der majorisierten Konvergenz

Question

Aufgabe:Bestimmen Sie den Grenzwert

\( \lim\limits_{n\to\infty} \)  \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{1}{1+x+\frac{1}{n}x²} \)

Problem/Ansatz: Ich möchte den Grenzwert mit dem Satz von Lebesgue/ von der majorisierten Konvergenz bestimmen aber konnte nicht eine integrierbare majorante von f_n (x) = \( \frac{1}{1+x+\frac{1}{n}x²} \) finden , brauche Hilfe bitte , Danke im Voraus

LG Fares

Comments

Wenn Du im Integranden n gegen Unendlich gehen lässt, ist der Grenzwert 1/(1+x). Das wäre nicht integrierbar?

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Es gilt \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{1}{1+x} \) = [ln(1+x)]₀^∞   = ∞     , das bedeutet die funktion f(x) = \( \frac{1}{1+x} \) ist nicht integrierbar über [0,∞)

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Wie willst Du dann eine integrierbare Majorante finden?

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Ich weiß leider nicht , deswegen habe ich gefragt , ob man mit diesem Satz eine Lösung finden kann oder gibt es eine andere Methode .

Answer 1

[EDIT] Meine Majorante funktioniert nicht.

Answer 2

Du kannst den Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi) anwenden.

Übrigens kannst Du das Integral auch standardmäßig durch Partialbruchzerlegung integrieren.