Integralsatz von Stokes Berechnung

Question

Berechnen Sie mit dem Integralsatz von Stokes für die dreieckige Fläche \( S \) in der \( (x, y) \)-Ebene mit den Eckpunkten \( (0,0) \), \( (1,0) \) und \( (0,1) \) und das Vektorfeld\( v: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad v(x, y, z):=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -x y \\ 0 \end{array}\right) \)

Comments

Ich würde zunächst notieren, was überhaupt berechnet werden soll. Dann würde ich den Satz von Stokes mal in Euer Schreibweise hierhinschreiben, damit wir einen Anfangspunkt haben. Du könntest dann erklären, was Du da nicht verstehst.

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∫∫S<rot v, n> do = ∫∂S v*dx

a)
\( \begin{array}{l} v: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3}, v(x, y, z):=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -x y \\ 0 \end{array}\right) \\ (rot v)(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} 0-0 \\ 0-0 \\ -y-0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -y \end{array}\right) \end{array} \)

Weiter komme ich nicht, ich weiß eig wie es geht von der Formel her aber die Parametrisierung bzw diesen Rand S also die Integralgrenzen dann weiß ich nicht wie ich machen soll

Muss ja quasi paramterdarstellun s von S also s(x,y) schreiben und dann im integral skalarprodukt von rot,sx,sy über den Bereich B und dann in polarkoordinanten

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Fangen wir mal mit dem linken Integral an. Wir brauchen eine Parameterdarstellung für die Fläche S. Diese Fläche ist ein Dreieck in der (x,y)-Ebene. Mögliche Parametrisierung:

$$P:D \to \R^3 \text{  mit }\\D:=\{(s,t) \mid 0 \leq s \leq 1, 0 \leq t \leq 1-s\}, \quad P(s,t):=(s,t,0)$$

Dazu kannst Du jetzt den Normalenvektor \(n(s,t)\) berechnen (ist ganz einfach) und das Oberflächen-Integral für die linke Seite aufstellen:

$$\int_S \langle rot(v),n \rangle do=\int_D \left\langle rot(v)(P(s,t)),n(s,t)\right\rangle d(s,t) $$

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Vielen Dank!

Aber wie rechne ich das n aus, normalerweise hat man ja eine Parametrisierung s(x,y)= irgendein Vektor und rechnet dann s(nach x abgeleitet) x s(nach y abgeleitet) also das Kreuzprodukt. Aber jetzt habe ich ja mot der Parametrisierung nur die Grenzen 0 bis 1 und 0 bis 1-x und keinen Vektor, wie komme ich auf den?

Und bei dem Satz von Stokes muss man ja quasi den Rand der Fläche B im mathematisch positiven Sinn durchlaufen

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Die Parametrisierung der Fläche ist in meiner Bezeichnung die Abbildung P. d.h. (s,t,0) ist der Vektor, nach dem Du fragst - Du kannst ihn auch (x,y,0) nennen, wenn Dir das hilft.

Ja, Du musst den Rand durchlaufen. Dieser Rand besteht aus 3 Teilstücken, die Strecke von (0,0) nach (1,0), Strecke von (1,0) nach (0,1), zurück von (0,1) nach (0,0). Du hast also 3 Teilstrecken, 3 dazugehörige (einfache) Parametrisierung und 3 jeweils dazu gehörige Weg-Integrale, deren 3 Werte Du addieren musst.

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Also ich habe jz (1,0,0)x(0,1,0)=(0,0,1) als n

Wenn ich jz das Skalarprodukt aus <rot v,n> nehme benomme ich -y. Also habe ich ∫∫-y d(x,y)? Aber müsste die Parametrisierung nicht (1-x,y,0) sein bzw wieso (x,y,0)? Weil ich verstehe jz nicht ganz was ich für die Grenzen einsetzen soll beim integral

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Man hat meistens viele Freiheiten, eine Parametrisierung zu wählen, es gibt nicht d i e Parametrisierung. Beachte, dass zur Parametrisierung sowohl der Vektor gehört, der die Punkte der Fläche durchläuft als auch der Definitionsbereich.

Du kannst z.B. auch P(x,y):=(1-x,y,0) nehmen und Dir mal überlegen, welchen Definitionsbereich Du dann nehmen musst, um das gegebene Dreieck zu erhalten.

Answer 1

Ich schreibe mal eine Lösung auf:

wir haben geklärt, dass rot(v)=(0,0,-y) ist. Wir nehmen die Parametrisierung

$$P(s,t):=(s,t,0), \quad 0 \leq s \leq 1, \quad 0 \leq t \leq 1-s$$

Ich benutze für die Parameter nie x,y,z, um sie von den Koordinatenbezeichnungen zu unterscheiden.

Damit ist das Skalarprodukt aus rot(v) und n gleich -y

Du hast den dazugehörigen Normalen-Einheitsvektor berechnet: n(s,t)=(0,0,1). (Das ist auch so klar, weil die Fläche ein Stück der (x,y)-Ebene ist.

Damit hätten wir

$$\int_S \langle rot(v),n\rangle do=\int_0^1\left(\int_0^{1-s}(-t)\;dt\right) \;ds$$

Comments

Ist es richtig, dass dann qm Ende-1/6 rauskommt? Und darf der Wert überhaupt negativ sein

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Ja, das ist richtig. Warum sollte der Wert nicht negativ sein?