Gegeben war die Funktion g: R^3 -> R definiert als
g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2xyz.
Aufgabe: Bestimme den Gradient und dann die kritischen Punkte von g.
Meine Lösung:
Der Gradient ist gegeben als die Funktion (grad)(f): R^3 -> R^3, (grad)(f)(x,y,z) = (2x - 2yz, 2y - 2xz, 2z - 2xy).
Für die kritischen Punkte setzte den Gradient gleich (0,0,0).
D.h. (2x - 2yz, 2y - 2xz, 2z - 2xy) = (0,0,0).
Löse das unlineare LGS nun nach x,y,z.
Es ist äquivalent zu:
x-yz = 0
y-xz = 0
z-xy = 0
und das ist äquivalent zu:
x = yz (1.G)
y = xz (2.G)
z = xy (3.G)
Also sind (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1-1), (-1,-1,1) und (0,0,0) Lösungen und die kritischen Punkte.
Frage: Sind meine Ergennisse richtig?
