ln Funktion partiell ableiten

Question

Gegeben sei die Funktion \( F(x_{1}, x_{2}) = 64·\ln(x_{1}) + 40 · \ln(x_{2}) \)

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des ersten Arguments bei Erhöhung des zweiten Arguments um eine marginale Einheit an der Stelle a = (7, 2) und unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion F.

Ich kann die Aufgabe prinzipiell schon lösen, aber ich tue mich sehr schwer beim LN partiell ableiten. Wie leite ich also in der Aufgage ln jeweils richtig nach x1 bzw. x2 ab?

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{\partial F}{\partial x_1}=\frac{64}{x_1}\quad;\quad\frac{\partial F}{\partial x_2}=\frac{40}{x_2}$$

Alle Variablen, nach denen gerade nicht partiell abgeleitet wird, betrachtest du als konstant.

Zur Bestimmung der Änderungsrate in der restlichen Aufgabe, brauchst du das totale Differential:

$$dF=\frac{\partial F}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial F}{\partial x_2}dx_2$$

Answer 2

F(x₁,x₂) = 64 ln(x₁) +40 ln(x₂)

F_x1 = 64/x₁ ------>x₂ wird wie eine Konstante betrachet

F_x2= 40/x₂ ------->x1 wird wie eine Konstante betrachtet

allgemein gilt:

y' = - F_x2/F_x1

y'= -2,1875