In welchem Zeitraum verdoppeln sich die Kenntnisse?

Question

Aufgabe 8

Lernziel: Stetiges Wachstum berechnen können.

Die Kenntnisse eines Studenten bzw. einer Studentin nehmen im Verlauf des Studiums stetig zu. Der bekannte Psychologe Prof. Dr. Schlaumeyer errechnete kürzlich eine durchschnittliche stetige Wachstumsrate von 25% pro Studiensemester.

a) Unter der Annahme, dass ein Student bzw. eine Studentin zu Beginn des Studiums
10 Kenntniseinheiten (KE) besitze, errechne man seinen bzw. ihren Kenntnisstand (in KE) nach Abschluss des 10. Semesters.

b) In welchem Zeitraum verdoppeln sich die Kenntnisse?

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe im Forum bereits ein Thread zu dieser Aufgabe gefunden, jedoch war die vorgeschlagene Lösung, laut der Lösungsvorgabe falsch, weswegen ich diese Frage hier stelle. Es geht konkret um die Aufgabe b)

A) habe ich folgendermaßen gelöst:

Ko*e^i*n

= 10 * e^0.5*5

^{= 121,82 KE; (Richtig laut Lösungsvorgabe)} 

^{-> 0.5 weil 50% pro Jahr}

^{-> 5 weil 10 Semester = 5 Jahre}

^{B) Hier soll die Lösung 2.77 Semester sein laut dem Lösungsblatt.}

^{Mein Ansatz:}

^{(Log(kn) - Log(Ko)) / Log(q)} 

^{( Log(20) - Log(10) ) / Log(1.25)} 

^{= 3.11; ist aber laut dem Lösungsblatt falsch....}

Comments

b) (e^(0,25))^n = e^(0,25n) = 2

0,25n = ln 2

n= ln2/0,25= 4*ln2= 2,77

Es gilt das Potenzgesetz: (a^b)^c = a^(bc)

Answer 1

Du probierst folgende Gleichung nach x aufzulösen

10·1.25^x = 20 → x = (ln(20) - ln(10)) / ln(1.25) = 3.106

Du hattest aber schon richtig ein stetiges Wachstum identifiziert also ist das die Gleichung

10·e^{0.25·x} = 20 --> x = (ln(20) - ln(10)) / 0.25 = 2.773

Siehst du den Unterschied in der Modellierung?

Comments

PS: Ich hätte a) auch abweichend mit

10·e^{0.25·10}

gerechnet. Also 0.25 als Wachstumskonstante für ein Semester und 10 für 10 Semester. Wäre allerdings dasselbe herausgekommen.

Answer 2

Forme halt richtig um.

Es ist \(2=\mathrm{e}^{0,25t}\) zu lösen. Das liefert \(t=\frac{\ln(2)}{0,25}\).