Funktion mit Basis e und erste Ableitungen

Question

Aufgabe: Schreiben Sie die Funktion f mit der Basis e und bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen von f.

a) f(x)= 3^x

b) f(x)= 2×1,5^x+e^x

Problem/Ansatz: Ich hab den ersten Teil von a) gemacht sowie auch die erste Ableitung gebildet. Ich weiß nun nicht wie man die zweite Ableitung bildet und dasselbe bei b), bei welcher ich gar keinen Ansatz habe.

Danke schonmal für Hilfe :)

Answer 1

f(x) = 3^x

f(x) = (e^{ln(3)})^x

f(x) = e^{x·ln(3)}

f'(x) = ln(3)·e^{x·ln(3)}

f''(x) = (ln(3))^2·e^{x·ln(3)}

Comments

Danke und wie ist die Lösung von b)?

Answer 2

Es gilt allgemein:

f(x) = a^x = e^(lna*x)

f '(x) = f(x)* (lna*x)' = f(x)*lna

lna wird als Faktor mitgeschleppt und bei jeder weiteren Ableitung mit nicht multipliziert.

Man nutzt aus, dass man jede Zahl a als Exponenten der Basis e schreiben kann:

a = e^(ln(a))

für die n-te Ableitung gilt:

f^n(x) = (lna)^n*f(x)

b) Faktorregel anwenden = Faktor mitschleppen:

f(x) = c*a^x

f '(x)= c*ln(a)*a^x

Comments

Alles klar vielen Dank