Von A(a)=(2,5a2+10a+10)*e^(-0,5a+1) erste Ableitung + Extremstelle bestimmen

Question

Aufgabe: A(a)=(2,5a^2+10a+10)*e^(-0,5a+1) bilden Sie von A(a) die erste Ableitung und bestimmen Sie die Extremstelle

Problem/Ansatz:

Für die Ableitung von A(a) musste ich die Ketten- und Produktregel beachten für die erste Ableitung habe ich A´(a)=(2,5a^2+15a+19,5)*e(-0,5a+1) ich weiß nur nicht ob ich hier richtig abgeleitet und zusammengefasst habe. Als nächstes muss ich A´(a)=0 setzten für den Extrempunkt, allerdings weiß ich nicht wie ich hier anfangen soll.

Danke schon mal für die Hilfe!

Answer 1

Hallo,

mit Anwendung der Produktregel

\(u=2,5a^2+10a\\u'=5a+10\\v=e^{-0,5a+1}\\ v'=-0,5e^{-0,5a+1}\)

komme ich auf

\(f'(x)=e^{-0,5a+1}\cdot (10-1,25a^2)\)

Wende dann den Satz vom Nullprodukt an. Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null ist.

Also \(e^{-0,5a+1}=0\quad\vee\quad (10-1,25a^2)=0\)

Die 1. Gleichung geht nicht auf, also brauchst du nur \((10-1,25a^2)=0\) zu lösen oder dich melden, falls du dazu noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Bei der Ableitung hab ich noch eine Frage

A´(a)= u´*v+v´*u

A´(a)= 5a+10*e^(-0,5a+1)-0,5*e^(-0,5a+1)*2,5a^2+10a+10

Vereinfacht e^(-0,5a+1) ausklammern aber was hast du dann gemacht?

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Müsste es dann nicht so aussehen: (1,25a^2+15a+20)*e^(-0,5a+1)

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Kann es sein, dass hier der Fehler liegt

2,5a2+10a+10

Nach dem Ausklammern hatte ich

\(f'(x)=e^{-0,5a+1}\cdot (10-1,25a^2)\)

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Bei mir sieht das so aus: u=2,5a^2+10a+10

u´=5a+10

v=e^-0,5a+1

v`=-0,5e^-0,5a+1

dann wäre es doch: 5a+10*e^(-0,5a+1)-0,5*e^(-0,5a+1)*2,5a2+10a+10

und vereinfacht (1,25a2+15a+20)*e^(-0,5a+1)

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Ach du Himmel, ich habe die 10 übersehen!

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Damit ergibt sich als Ableitung

\(f'(x)=e^{-0,5a+1}\cdot (5-1,25a^2)\\\)

Du musst 2,5a2+10a+10 mit -0,5 multiplizieren, das ergibt \(-1,25a^2-5a-5\)

addiert zu 5a+10 ergibt \(5a+10-1,25a^2-5a-5=5-1,25a^2\)

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Ah okay vielen Dank!!

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Löse ich dann e^(-0,5a+1)(5-1,25a^2) nach on auf, erhalte ich a= +/- 2 oder?

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Ja, das ist richtig.

Answer 2

Text erkannt:

Ableitung mit der Quotientenregel:
\( A(a)=\left(2,5 a^{2}+10 a+10\right) \cdot e^{-0,5 a+1}=\frac{2,5 a^{2}+10 a+10}{e^{(0,5 a-1)}} \)
A \( \cdot(a)=\frac{(5 a+10) \cdot e^{(0,5 a-1)}-\left(2,5 a^{2}+10 a+10\right) \cdot e^{0,5 a-1} \cdot 0,5}{\left(e^{(0,5 a-1)}\right)^{2}} \)
\( \mathrm{A} \cdot(a)=\frac{(5 a+10)-\left(2,5 a^{2}+10 a+10\right) \cdot 0,5}{e^{(0,5 a-1)}}=\frac{5-1,25 a^{2}}{e^{(0,5 a-1)}} \)
\( A^{\prime} \cdot(a)=\frac{(-2,5 a) \cdot\left(e^{(0,5 a-1)}\right)-\left(5-1,25 a^{2}\right) \cdot\left(e^{(0,5 a-1)}\right) \cdot 0,5}{\left(e^{(0,5 a-1)}\right)^{2}} \)
\( \frac{5-1,25 a^{2}}{e^{(0,5 a-1)}}=0 \)
\( a_{1}=2 \)
\( a_{2}=-2 \)
Art des Extremum:
\( \mathrm{A} \cdot(a)=\frac{-2,5 a-2,5+0,625 a^{2}}{e^{(0,5 a-1)}} \)
A \( \cdots(2)=\frac{-2,5 \cdot 2-2,5+0,625 \cdot 4}{e^{(0,5 \cdot 2-1)}}<0 \rightarrow \) Maximum
\( A \cdot(-2)=\frac{-2,5 \cdot(-2)-2,5+0,625 \cdot 4}{e^{(0,5 \cdot(-2)-1)}}>0 \rightarrow \) Minimum