Question

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems (AWP)
\( y' + \frac{y}{x} = x^2 + 4, \quad y(1) = \frac{13}{4}, \quad x > 0, \quad y \neq 0. \)

Comments

Lässt du dir deine Übungszettel hier wieder lösen? Wie wäre es mal mit eigenen Ansätzen und konkreten Fragen, wo die Probleme liegen? Ein Studium funktioniert so jedenfalls nicht.

Answer 1

Hallo,

Lösung via Variation der Konstanten:

Es gilt allgemein: y' +A(x) y= B(x)

1.homogene DGL berechnen:

y' +A(x) y= 0->Trennung der Variablen

y'+y/x=0
yh= \( \frac{C1}{x} \)

2. Setze C₁= C(x)
yp=C(x)/x
yp'= C'(x)/x - C(x)/x^2
3.Setze yp und yp' in die DGL ein

dabei muß C(x) herausfallen, wenn Du richtig gerechnet hast,

C'(x)/x= x^2+4
C'(x)/x= x^3+4x
C(x)=x^4/4 +2x^2

4. yp= C(x)/x =x^3/4 +2x
5. y= yh+yp

Lösung: y=C₁/x +x^3/4 +2x

6.AWB in die Lösung einsetzen:

y=1/x +x^3/4 +2x

Wichtiger Hinweis:

Benutze nicht KI, es rechnet oft Sülze, Du bekommst falsche Ergebnisse.

An den meisten Unis wird dieses Verfahren, Variation der Konstanten gelehrt, auch wenn es ein "langer" Weg ist. Der Prof will dann "sein" Verfahren geprüft haben.

Answer 2

Aloha :)

$$y'+\frac yx=x^2+4\quad\big|\cdot x$$$$xy'+y=x^3+4x\quad\big|(xy)'=1\cdot y+x\cdot y'=xy'+y$$$$(xy)'=x^3+4x\quad\big|\text{integrieren}$$$$xy=\frac{x^4}{4}+2x^2+c\quad\big|\div x$$$$y(x)=\frac{x^3}{4}+2x+\frac cx$$

Aus der Randbedingung \(y(1)=\frac{13}{4}\) folgt die Integrationskonstante:$$\frac{13}{4}=y(1)=\frac14+2+c=\frac94+c\implies c=1$$und können die finale Lösung angeben:$$y(x)=\frac{x^3}{4}+2x+\frac1x$$