Bestimmen Sie alle Lösungen der DGL-2

Question

Bestimmen Sie alle Lösungen der DGL

\( y' = \frac{x^2 + y^2}{xy}, \quad x \neq 0, \quad y \neq 0. \)

Answer 1

Aloha :)

Hier kannst du die Differentialgleichung etwas umformen:

$$y'=\frac{x^2+y^2}{xy}\quad\bigg|\cdot x$$$$xy'=\frac{x^2+y^2}{y}=\frac{x^2}{y}+y\quad\bigg|-y\quad\bigg|\div x^2$$$$\frac{xy'-y}{x^2}=\frac1y\quad\bigg|\left(\frac yx\right)'=\frac{y'\cdot x-y\cdot1}{x^2}$$$$\left(\frac yx\right)'=\frac1y\quad\big|\cdot\frac yx$$$$\left(\frac yx\right)'\cdot\frac yx=\frac 1x$$Sodass du beide Seiten leicht nach \(dx\) integrieren kannst:$$\frac12\left(\frac yx\right)^2=\ln|x|+c$$Das stellst du nach \(y\) um und erhältst als Lösung:$$y(x)=\pm\sqrt{x^2\left(\ln(x^2)+2c\right)}$$

Die Integrationskonstante \(c\) bzw. die Konstante \(2c\) muss aus einer bekannten Anfangsbedingung bestimmt werden.

Answer 2

Hallo,

y'=  x/y +  y/x

Substituiere

z=y/x

y=z x

y'=z+z'x

in die DGL einsetzen:

z+z'x = 1/z +z |-z

z'x = 1/z

dz/dx *x =1/z

z dz= dx/x

z^2/2= ln|x| +C

z^2 =2(ln(|x|+C)

z= ± √ (2(ln(|x|+C))

Resubstitution:

z=y/x

y/x= ± √ (2(ln(|x|+C))

y= ± x √ (2(ln(|x|+C))

Wichtiger Hinweis:

Benutze niemals KI, damit bekommst Du oft falsche Lösungen.

Nutze Tools , Wolfram Alpha: (z.B.)

\( \begin{array}{l}y(x)=-x \sqrt{c_{1}+2 \log (x)} \\ y(x)=x \sqrt{c_{1}+2 \log (x)}\end{array} \)

Du siehst ,meine Lösung stimmt.

mit log(x) ist hier ln|x| gemeint .

Mein Weg wird auch an Uni's so gelehrt.

Comments

Zum Vergleich:

y' = (x^2 + y^2)/(xy), x ≠ 0, y ≠ 0
nochmal von Anfang an lösen. Diese Gleichung lässt sich tatsächlich einfacher lösen als zunächst angenommen.

Wir können die Gleichung umformen zu:
xy·y' = x^2 + y^2
Dividieren wir beide Seiten durch y^2:
(x/y)·y' = (x/y)^2 + 1
Setzen wir u = x/y. Dann ist y = x/u und y' = -xu'/(u^2).
Substituieren wir dies in die Gleichung:
(x/y)·(-xu'/(u^2)) = (x/y)^2 + 1
-u'/u = u^2 + 1
Dies ist eine Gleichung mit getrennten Variablen. Wir können sie umformen zu:
-du/(u^2 + 1) = dx/x
Integrieren wir beide Seiten:
∫-du/(u^2 + 1) = ∫dx/x
Die Lösung dieser Integrale ist:
-arctan(u) = ln|x| + C
Lösen wir nach u auf:
u = -tan(ln|x| + C)
Erinnern wir uns, dass u = x/y. Also:
x/y = -tan(ln|x| + C)
Lösen wir nach y auf:
y = -x/tan(ln|x| + C)

Dies ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Die Konstante C würde durch eine gegebene Anfangsbedingung bestimmt werden.
Beachten Sie, dass diese Lösung nicht für x = 0 oder y = 0 definiert ist, wie in der ursprünglichen Gleichung angegeben. Außerdem gibt es Einschränkungen für die Werte von x, bei denen ln|x| + C ein Vielfaches von π/2 ist, da tan an diesen Stellen nicht definiert

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1. Was soll das schon wieder? Du hast meines Wissens noch nie bis kaum eine DGL-Aufgabe beantwortet (Deine Expertise liegt demnach woanders) und erdreistest Dich hier eine Vergleichslösung zu posten ohne (vermutlich) die Richtigkeit der Antwort abschätzen zu können?! Noch scheinst Du die generierte Antwort in Frage gestellt zu haben, immerhin kommt diese auf eine andere Antwort als die von grosserloewe...welcher ein DGL-Experte ist!

2. Ist der Kommentar nicht einmal als KI-Antwort deklariert!

3. Ich weiß nicht, ob Du Applaus erwartest eine Fragestellung in die KI kopieren zu können und die Antwort hier zu posten...aber sei versichert, dass jeder hier in der Lage ist selbiges zu tun. Ist also eine KI-Antwort erwünscht, überlass das bitte dem Fragesteller!

4. Wie bereits erwähnt haben wir eine bordeigene KI. Die nimmt sich Altfragen an um zumindest etwas anbieten zu können. Deine Beiträge sind also auch in dieser Hinsicht unerwünscht.

Um es einfach zu halten verschärfe ich meine Anmerkung von letztem Mal nochmal, damit ich meine Zeit besser gestalten kann als Dir hinterherzurennen und zu prüfen: Jedwede Antworten/Kommentare, die aus KI-Sülze bestehen sind unerwünscht!

Deine KI-Antworten/Kommentare wurden alle entfernt!

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Mich würde noch interessieren:

y=x/u => y'=-xu'/(u^2)

Im weiteren taucht eine Gleichung ohne x auf , danach wieder mit x?

Grundsätzlich: Wenn man eine anderes Ergebnis als zuvor "beschafft", sollte das nicht kommentiert werden?

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Deine Beiträge sind also auch in dieser Hinsicht unerwünscht.

Ist das deinen Meinung oder die des Betreibers?

Jedwede Antworten/Kommentare, die aus KI-Sülze bestehen sind unerwünscht!

Wo steht das geschrieben?

2. Ist der Kommentar nicht einmal als KI-Antwort deklariert!

Wenn, dann habe ich es mal vergessen.

4. Wie bereits erwähnt haben wir eine bordeigene KI

Vlt. ist meine besser.
Wem schadet das denn? Vergleiche sind nichts Schlechtes.

Ich habe auch KI-Lösungen gepostet, wo bisher noch keine Antwort kam.
KI erklärt und zwar auf freundliche Weise. Daran könnte mancher Maß nehmen Offenbar war keiner in der Lage zu helfen. KI ist besser als nichts.

Sicher kennst du : Variatio delectat. Warum nicht auch mit KI?
Oder hast du Angst vor Kundenverlust. Wenn das der Grund ist, den ich verstehe,
dann soll es eben so sein. Alle anderen Argumente überzeugen mich nicht.

Ich weiß nicht, ob Du Applaus erwartest eine Fragestellung in die KI kopieren zu können

a) Nein, den brauch ich nicht und der Satz ist polemisch und verletzend.

Immerhin mache ich mir die Mühe -in welcher Form auch immer.

Semper aliquid haeret et prodesse potest.

b) Ich will nur Beiträge als Helfer leiste,

(Deine Expertise liegt demnach woanders) und erdreistest Dich hier eine Vergleichslösung zu posten ohne (vermutlich) die Richtigkeit der Antwort abschätzen zu können

Ich stelle das zur Diskussion, aus der man lernen kann, auch im Blick auf KI.

PS:

z.Z. ist eh nicht viel los im Forum (Ferienzeit), da kann man sowas schon mal machen und ausprobieren.

Wo liegt der Schaden und welcher? Die bordeigene KI kenne nicht, ich benutze auch keine andern Hilfsmittel.

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GgT: Warum antwortest Du nicht auf meine Fragen?

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@ggT22

Wo steht das geschrieben?

Hier: https://www.mathelounge.de/faq#qu210

Steht auch bei einer Deiner anderen Kommentare, hast Du bestimmt übersehen, bei Deiner aktuellen Vergesslichkeitsphase.

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Danke, bei den FAQs war ich noch nie.

bei Deiner aktuellen Vergesslichkeitsphase.

Die ist leider mein großes Problem, keine Ausrede, bittere sich wohl kaum noch ändern werdende Situation. Doch das ist mein Problem.

Ich finde, man sollte das nicht zu streng sehen, werde mich an die Regeln halten, wenn ich es nicht zwischendurch vergesse. Schade, dass damit Diskussionstoff wegfällt. Über KI kann man nicht genug wissen v.a. über deren Schattenseiten.

Fakt ist: KI wird immer besser, auch in Fremdsprachen einschließlich Latein:

Ecce magister numerorum, creta in manu tenet,
Tabulam nigram implet signis, discipuli tremunt.
Integros explicat, fractiones dividit acer,
Radices quadratas extrahit velut magus potens.
Triangula, circuli, cubi dansant ante oculos,
Dum puer somniat de ludis et de cibis.
"Eureka!" clamat doctor, problema solvens,
Sed classis dormitat, Morphei regno capta.

Eine freie Übersetzung ins Deutsche wäre:

Seht den Meister der Zahlen, Kreide in der Hand haltend,
Er füllt die schwarze Tafel mit Zeichen, die Schüler zittern.
Ganze Zahlen erklärt er, Brüche teilt er scharf,
Quadratwurzeln zieht er wie ein mächtiger Magier.
Dreiecke, Kreise, Würfel tanzen vor den Augen,
Während der Junge von Spielen und Essen träumt.
"Heureka!" ruft der Lehrer, ein Problem lösend,
Doch die Klasse schlummert, vom Reich des Morpheus gefangen.

Die Metrik habe ich nicht überprüft.

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Du hast glaub ich nicht ganz verstanden was dieses Forum hier tut.

Ein Helfer ist jemand, der einem Fragesteller bei der Bearbeitung seiner Aufgabe hilft. Hier gibt es mehrere Ansätze über Komplettlösung oder Hinführung. Es wird aber jeweils vorausgesetzt (!), dass der Helfer weiß was er tut (Fehler sind selbstredend unvermeidlich und das steht hier nicht zur Diskussion.). Denn ansonsten macht man nichts anderes als den Fragesteller zu verwirren oder gar falsches beizubringen.

Genau da landen wir bei Dir. Deine unkorrigierten KI-Aussagen werden dem Fragesteller vorgelegt und er darf/muss nun annehmen, korrekt geholfen worden zu sein - und tappt in die Falle, da Du selbst nicht weißt, ob das nun richtig ist.

Und NEIN es nicht Aufgabe der anderen Helfer Deine Antworten zu auf Richtigkeit zu überprüfen!

Alle anderen Argumente überzeugen mich nicht.

Wow. Du lässt genau ein Argument zu, und wenn ich das nicht erfüllt bekomme, dann interessiert Dich der Rest nicht? Ich hoffe sehr für Dich, dass das missdeutig war und Du Dich auf meine Argumente im obigen Post beziehst. Schon das stimmt mich traurig darauf zu beharren eine "weitere Meinung" ins Spiel zu bringen. Dabei ist das nicht einmal Deine Meinung, sondern eine Meinung (der KI), die Du teils gar nicht vertreten kannst. Das allein ist schon Argument genug!

b) Ich will nur Beiträge als Helfer leisten

Das würde Dich ehren, wenn denn dem so wäre...aber wie an meinen (Dich nicht interessierenden) Argumenten aufgezählt tust Du gerade genau das Gegenteil. Mehraufwand für andere Helfer, die Dich kontrollieren müssen! Schade.

Ist das deinen Meinung oder die des Betreibers?

Ich lehne mich selten aus dem Fenster, wenn es darum geht zu behaupten was andere meinen. Aber in solchen Fällen sind wir meist d'accord. Siehe im Link von nudger die Anpassung, die gemacht wurde.

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Und NEIN es nicht Aufgabe der anderen Helfer Deine Antworten zu auf Richtigkeit zu überprüfen!

Die tun das aber sehr gern, ist mein Éindruck.

Siehe im Link von nudger die Anpassung, die gemacht wurde.

Ich habe ihn nu gelesen.

Mehraufwand für andere Helfer, die Dich kontrollieren müssen! Schade.

Der sich in Grenzen hält. Zudem sind einige hier, die offenbar viel Zeit wie ich und gerne als Belehrer auftreten. Lass diese Kirche bitte im Dorf!

Wer hier hilft geht einem Hobby oder Vergnügen nach oder hat Langeweile.

AM hat in 3 Tagen schon 300 Punkte gesammelt. Er muss wirklich genug Zeit haben.

Der Zeitaufwand für Korrekturen ist meist minimal.

Dass ich gewisse Dinge anders sehe, ist mein Recht, genauso wie es meine Pflicht ist mich an die Regel zu halten. Damit lass uns das Thema KI beenden, auch wenn meine sehr schön erklären kann, wie schon festgestellt wurde. Und sie ist v.a. immer freundlich und frei von jeder Polemik und latenter Aversion.

Schönen Tag noch, großer Unkannter. Oft trifft man dich eh nicht mehr an. Hast wohl Wichtigeres und Lukrativeres zu tun als steuerzahlendes, nützliches Mitglied der Gesellschaft.

Wenns erlaubt ist zu fragen: Arbeitest du hier für Gotteslohn oder wird deine Tätigkeit honoriert?

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Der sich in Grenzen hält. Zudem sind einige hier, die offenbar viel Zeit wie ich und gerne als Belehrer auftreten. Lass diese Kirche bitte im Dorf!

Bei der Schriftform gehen wohl zu viele Hinweise verloren...Ich bezweifle, dass die "Belehrer" sich nichts besseres vorstellen können als KI-Antworten durchzulesen und zu korrigeren. Schließe bitte nicht von Dir auf andere.

Dass ich gewisse Dinge anders sehe, ist mein Recht, genauso wie es meine Pflicht ist mich an die Regel zu halten.

Yop, spreche ich Dir nicht ab. Solange Du den Regeln folgst. Das ist ja aber nun geklärt.

Hast wohl Wichtigeres und Lukrativeres zu tun

"Anderes" wäre die passendere Wortwahl. Und ich bin hier ohne einen Cent unterwegs und werde nur durch die Dankbarkeit der Fragesteller entlohnt. Umso mehr ist Zank jedweder Art nur Schmerz für meine gemartete Mathelounge-Seele :/.

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In dieses Kapitel gehören, mit Verlaub, auch das Posten von Links (öfters "Studyflix") die dann nichts Zielführendes zur Aufgabe enthalten. Man unterstellt damit dem Fragesteller, er sei zu doof, selber zu googeln.

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Ergänzende oder weiterführende Links als Kommentar finde ich durchaus in Ordnung. Unkommentiert als Antwort nicht. Ist aber auch laut FAQ nicht erwünscht.

Zu doof sind sie vielleicht nicht, aber zu faul. Und das sieht man hier doch leider immer wieder, wie wenig Eigeninitiative von den FS kommt. Oft wird nur eine Frage hingeklatscht, ohne das genaue Problem zu schildern. Und viele dieser Fragen lass sich mit einer Google-Suche doch recht schnell beantworten. Aber dazu müsste man einfach mal Definitionen und Begriffe nachschlagen. Viel aufwendiger als einfach eine fertige Lösung abschreiben zu können!

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Und ich bin hier ohne einen Cent unterwegs und werde nur durch die Dankbarkeit der Fragesteller entlohnt.

Das ist sehr lobenswert.

mso mehr ist Zank jedweder Art nur Schmerz für meine gemartete Mathelounge-Seele :/.

Das glaube ich dir.

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Damit lass uns das Thema KI beenden, auch wenn meine sehr schön erklären kann, wie schon festgestellt wurde. Und sie ist v.a. immer freundlich und frei von jeder Polemik und latenter Aversion.

Gut erklären kann sie, aber Mist erklären tut sie. Da hilft der freundliche Ton kein Bisschen weiter, und ich unterstelle deiner KI eine latente Aversion gegen sauberes mathematisches Arbeiten. Das ist das Problem.

Wenn du eine Antwort postest, dann stehst du dafür persönlich. Wenn Du nicht fähig bist, die Korrektheit deiner eigenen Antwort zu überprüfen und dafür zu stehen, ist das wissenschaftlich problematisch im Bestfall. Im schlimmsten Fall hast Du dich selbst reduziert zu einem Spammer.