Bei Aufgabe 2 a) i), ist es richtig, dass ich die Normalapproximation anwende?

Question

Aufgabe:

(a) In der Zeitschrift Psychological science wurde im Jahr 2015 eine Studie veröffentlicht, in der man zu dem Ergebnis kam, die geistige Fitness sei ein wesentlicher Faktor zur Vorhersage der Lebenserwartung. Insgesamt wurden dabei 65 yerschiedene Faktoren auf ihre Korrelation mit dem Sterberisiko hin untersucht. Betrachten Sie für diese 65 Faktoren unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen \( X_{1}, \ldots, X_{65} \) mit Werte 0 oder 1. Für \( i \in\{1, \ldots, 65\} \) habe \( X_{i}=1 \) die Bedeutung "Faktor \( i \) wird fälschlicherweise als (für das Sterberisiko) relevant eingestuft" und es gelte \( P\left(X_{i}=1\right)=0.05 \).

(i) Berechnen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 3 Faktoren fälschlicherweise als relevant eingestuft werden. Welche Approximation haben Sie verwendet?

Problem/Ansatz:

Bei Aufgabe 2 a) i), ist es richtig, dass ich die Normalapproximation anwende? falls ja, was ist dann der Erwartungswert? Bzw. welche Approximation muss man hier anwenden?

Answer 1

Die Zufallsvariablen \(X_i\) sind offensichtlich bernoulliverteilt zum Parameter \(p=0,05\). Dann ist die Summe \(S\) der Zufallsvariablen binomialverteilt zu den Parametern \(n=65\) und \(p=0,05\). Damit bietet sich zur Berechnung von \(P(S\geq 3)\) entweder die Normal-Approximation oder Poisson-Approximation an (Voraussetzungen prüfen). Da \(S\) binomialverteilt ist, gilt \(E[S]=np\) und \(\operatorname{Var}(S)=np(1-p)\).

Damit solltest du weiterkommen, oder?

Normal-Approximation: Gut, wenn \(\operatorname{Var}(S)\geq 9\).

Poisson-Approximation: Gut, wenn \(n\geq 50\) und \(p\leq 0,05\).

Answer 2

2 a) i), ist es richtig, dass ich die Normalapproximation anwende?

Die Bedingung für die Normalverteilung wäre nicht erfüllt, allerdings die Bedingung zur Näherung durch die Poissonverteilung. Also solltest du durch die nähern.

Schaffst du es dir die Bedingungen herauszusuchen und selber mal zu prüfen?

Comments

Woran erkenne ich, dass diese Bedingungen nicht erfüllt sind? Damit habe ich oft Schwierigkeiten

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Zur Näherung durch die Normalverteilung sollte die Regel von Moivre und Laplace erfüllt sein. Also σ² = npq > 9.

Für die Poissonverteilung sollte n > 30 und p ≤ 0.05 gelten.

Es ist ratsam sich mit den Bedingungen einen Formel und Merkzettel zu machen. Ebenso, wie man die Parameter berechnet.

Einen schönen Merkzettel findest du unter https://www.massmatics.de/merkzettel/#!919:Approximation_von_Verteilungen

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a) i)

Binomialvereilung
P(X ≥ 3) = 0.6370

Normalverteilung
μ = n·p = 65·0.05 = 3.25
σ² = n·p·q = 65·0.05·0.95 = 3.0875 (Achtung ist nicht > 9)
P(X ≥ 3) = 1 - NORMAL((2.5 - 3.25)/√3.0875) = 0.6652

Poissonverteilung
λ = n·p = 65·0.05 = 3.25
P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - (0.0388 + 0.1260 + 0.2048) = 0.6304

ii)

λ = n·p = 65·0.05 = 3.25

iii)

P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - 0.05)^n > 0.9 → n > 44.89 → n ≥ 45

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Dankeschön, wirklich sehr hilfreich

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Ich habe es dir auch extra mal mit den 3 Verteilungen ausgerechnet, damit du sehen kannst, dass hier die Poissonverteilung besser passt.

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Wie kommt man bei i) auf 0.0388 und 0.1260 also ich weiß das wir die Poissonverteilung genommen haben, aber setze es ganze Zeit falsch ein im Taschenrechner

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Wenn du die Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen möchtest, dann musst du im Taschenrechner die Poisson-Dichte benutzen

k = 0 ; μ = 3.25

Dann kommt der Taschenrechner auf etwa 0.03877

Mit der kumulierten Poisson-Verteilung kannst du direkt P(X ≤ 2) berechnen. Dann ist es noch ein klein wenig schneller.

Wenn du den Stochastikrechner von Geogebra benutzt, hast du auch noch gleich ein Histogramm, damit du es dir auch vorstellen kannst.

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Wie lautet die Formel in der ich das einsetzen muss?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung

\( P_{\lambda}(k)=\frac{\lambda^{k}}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda} \)