Merke dir die Zinseszinsformel:
K ( t ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) t
mit
p : Zinssatz ( Beispiel: 5 % => p = 0,05 )
t : Anzahl der Zinsperioden
K ( 0 ) : Anfangskapital
K ( t ) : Kapital nach t Zinsperioden
Sie ist als Ansatz für alle Aufgaben, in denen exponentielles Wachstums oder Zerfall behandelt wird, ausgesprochen nützlich.
zu a)
Gefragt ist nach dem Zinssatz p in der sich ein Kapital K ( 0 ) in t = 20 Zinsperioden (hier: Jahren) verdoppelt, bei dem also gilt:
K ( t ) = 2 * K ( 0 )
Setzt man nun 2 * K ( 0 ) für K ( t ) in die Zinseszinsformel ein, so erhält man:
2 * K ( 0 ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) t
[Mit t = 20 ergibt sich:]
2 * K ( 0 ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) 20
[Beide Seiten durch K ( 0 ) dividieren:]
<=> 2 = ( 1 + p ) 20
[Das Anfangskapital K ( 0 ) tritt in der Formel nicht mehr auf!. Das bedeutet: Der Zinssatz, bei dem sich ein Kapital nach t Zinsperioden verdoppelt hat, hängt nicht von der Höhe des Anfangskapitals ab.
Nun nach dem Zinssatz p auflösen:]
<=> 20√ 2 = 1 + p
<=> p = 20√ ( 2 ) - 1 ≈ 0,0353 = 3,53 %
zu b)
Allgemein gilt:
Der Zinssatz p, bei dem sich ein Kapital nach t Zinsperioden auf das k - fache vervielfacht, kann mit der Formel:
p = t√ ( k ) - 1
berechnet werden (siehe letzte Zeile der Antwort zu Teil a. Dort war t = 20 und k = 2 )
Damit kann man nun auch die nächsten beiden Aufgaben sofort lösen:
verdreifacht sich ein Kapital in 30 Jahren?
t = 30 , k = 3 , also:
p = 30√ ( 3 ) - 1 ≈ 0,0373 = 3,73 %
verhundertfacht sich ein Kapital in 100 Jahren?
t = 100 , k = 100 , also:
p = 100√ ( 100 ) - 1 ≈ 0,0471 = 4,71 %
