Wo liegt der Fehler? Globales Maximum, einfache Umformung

Question

Aufgabe:

Hallo,

gegeben sei die Funktion f(x)=(x-t)^t*e^(-tx), wobei t>0, gesucht sei das globale Maximum.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz:

1) t(x-t) ^t-1 *e^-tx + (x-t)^t * e^-tx *(-t)

2) e^-tx (t(x-t)^t-1+(x-t)^t *(-t))

3) Jetzt beginnt mein vermutlicher Fehler:

e^-tx ((x-t)^t (t*1/(x-t)+(-t))

so komme ich auf das falsche Ergebnis. Ich hatte ansonsten überlegt (x-t)^t-1 auszuklammern, habe dort allerdings Schwierigkeiten aufgrund der -1 im Exponenten.

Comments

https://www.ableitungsrechner.net/

Man klammert den ggT aus, das ist hier (x-t)^(t-1)

---

Ist es nicht.

---

Es fehlt t vor der Klammer. Ich meinte den ggT der Potenz, weil der nicht richtig war.

Answer 1

Im Folgenden lasse ich der Einfachheit halber, den e-Term weg.

Wenn man statt \((-t)\) das Vorzeichen mal verrechnen würde, erhält man

\(t(x-t)^{t-1}+(x-t)^t(-t)=t(x-t)^{t-1}-t(x-t)^t\).

Dann sieht man hoffentlich, dass man den Faktor \(t(x-t)^{t-1}\) wunderbar ausklammern kann, so dass man

\(t(x-t)^{t-1}-t(x-t)^t=t(x-t)^{t-1}\big(1-(x-t)\big)\) erhält.

Das liefert dann für \(t\neq 0\) die Lösungen \(x=t\) bzw. \(x=1+t\).

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort

---

Das liefert dann für \(t\neq 0\)

Man darf ruhig, der Klarheit wegen, schreiben t > 0, wie es die Aufgabe fordert.