Aufgabe:
Hey,
es geht um die Schwingungsgleichung in der 1b). Das Problem ist wie hier die Fourier-Transformation einbezogen werden soll. Die Lösung zu 1a) ist hochgeladen.
Problem/Ansatz:
Das Aufgabenblatt siehe unten.
Hat jemand eine Idee?
LG![123.png](https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=14537347197330044925)
Text erkannt:
1. Aufgabe: Gewöhnliche Differentialgleichungen
Betrachten Sie das Randwertproblem für die gewöhnliche lineare Differentialgleichung
\( a \ddot{x}(t)+b \dot{x}(t)+c x(t)=f(t), \quad x(0)=x(T), \quad \dot{x}(0)=\dot{x}(T), \)
wobei \( f(t) \) auf \( [0, T] \) stückweise stetig sein soll.
a) Betrachten Sie als Spezialfall die erzwungene Schwingung
\( \ddot{x}(t)+\gamma^{2} x(t)=|\sin t|, \quad x(0)=x(2 \pi), \quad \dot{x}(0)=\dot{x}(2 \pi) . \)
Die reelle Fourier-Reihe von \( |\sin t| \) für \( T=2 \pi, \omega=1 \) ist
\( |\sin t|=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{2}{\left(1-4 k^{2}\right) \pi} \cos (2 k t) . \)
Wie sieht die (Fourier-Reihe der) Lösung \( x(t) \) aus?
b) Bestimmen Sie die \( 2 \pi \)-periodischen Lösung für
\( \ddot{x}(t)+\frac{1}{2} x(t)=0 \quad \text { und } \quad \ddot{x}(t)+x(t)=0 . \)
Warum ist die Lösung im ersten Fall eindeutig und im zweiten Fall nicht?
![1234.jpg](https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=17721304148250427252)
Text erkannt:
Halo
1.
\( \begin{array}{l} x(t) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n t+b_{n} \sin n t\right) \\ \ddot{x}+\gamma^{2} x \sim \gamma^{2} \frac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \gamma^{2}\left(a_{n} \cos n t+b_{n} \sin n t\right)-n^{2}\left(a n \cos n t+b_{n} 1 \min t\right) \\ =\gamma \frac{a_{1}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\gamma^{2}-n^{2}\right) n_{n} \cos (n t)+\left(\partial^{2}-n^{2}\right) \operatorname{frimin}(n t) \\ =\sum \limits_{h=0}^{\infty} \frac{2}{\left(1-4 k^{2}\right) \pi} \cos (2 h t) \\ K F z-V g l \\ \text { I } n=2 k \\ \text { II }\left(\gamma^{2}-n^{2}\right) a_{n}=\frac{2}{\left(1-4 l^{2}\right) T 4} \\ {\left[\rightarrow a_{n}\right.} \\ =\frac{2}{\left(\gamma^{2}-4 h^{2}\right)\left(1-4 h^{2}\right) 11} \\ \end{array} \)
Es pulds
\( x(t) \sim \sum \limits_{h=0}^{\infty} \frac{2}{\left(\gamma^{2}-4 l^{2}\right)\left(1-4 h^{2}\right) \pi} \cos (2 \xi t) \)