Schwingungsgleichung und Fouriertrafo

Question

Aufgabe:

Hey,

es geht um die Schwingungsgleichung in der 1b). Das Problem ist wie hier die Fourier-Transformation einbezogen werden soll. Die Lösung zu 1a) ist hochgeladen.

Problem/Ansatz:

Das Aufgabenblatt siehe unten.

Hat jemand eine Idee?

LG

Text erkannt:

1. Aufgabe: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Betrachten Sie das Randwertproblem für die gewöhnliche lineare Differentialgleichung
\( a \ddot{x}(t)+b \dot{x}(t)+c x(t)=f(t), \quad x(0)=x(T), \quad \dot{x}(0)=\dot{x}(T), \)
wobei \( f(t) \) auf \( [0, T] \) stückweise stetig sein soll.
a) Betrachten Sie als Spezialfall die erzwungene Schwingung
\( \ddot{x}(t)+\gamma^{2} x(t)=|\sin t|, \quad x(0)=x(2 \pi), \quad \dot{x}(0)=\dot{x}(2 \pi) . \)

Die reelle Fourier-Reihe von \( |\sin t| \) für \( T=2 \pi, \omega=1 \) ist
\( |\sin t|=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{2}{\left(1-4 k^{2}\right) \pi} \cos (2 k t) . \)

Wie sieht die (Fourier-Reihe der) Lösung \( x(t) \) aus?
b) Bestimmen Sie die \( 2 \pi \)-periodischen Lösung für
\( \ddot{x}(t)+\frac{1}{2} x(t)=0 \quad \text { und } \quad \ddot{x}(t)+x(t)=0 . \)

Warum ist die Lösung im ersten Fall eindeutig und im zweiten Fall nicht?

Text erkannt:

Halo
1.
\( \begin{array}{l} x(t) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n t+b_{n} \sin n t\right) \\ \ddot{x}+\gamma^{2} x \sim \gamma^{2} \frac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \gamma^{2}\left(a_{n} \cos n t+b_{n} \sin n t\right)-n^{2}\left(a n \cos n t+b_{n} 1 \min t\right) \\ =\gamma \frac{a_{1}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\gamma^{2}-n^{2}\right) n_{n} \cos (n t)+\left(\partial^{2}-n^{2}\right) \operatorname{frimin}(n t) \\ =\sum \limits_{h=0}^{\infty} \frac{2}{\left(1-4 k^{2}\right) \pi} \cos (2 h t) \\ K F z-V g l \\ \text { I } n=2 k \\ \text { II }\left(\gamma^{2}-n^{2}\right) a_{n}=\frac{2}{\left(1-4 l^{2}\right) T 4} \\ {\left[\rightarrow a_{n}\right.} \\ =\frac{2}{\left(\gamma^{2}-4 h^{2}\right)\left(1-4 h^{2}\right) 11} \\ \end{array} \)

Es pulds
\( x(t) \sim \sum \limits_{h=0}^{\infty} \frac{2}{\left(\gamma^{2}-4 l^{2}\right)\left(1-4 h^{2}\right) \pi} \cos (2 \xi t) \)

Answer 1

Erstmal ist von Fouriertrafo hier nirgendwo die Rede.

Du sollst die beiden Gleichungen lösen, z.B. wie in a). Die Gleichungen sind ja sogar einfacher als die in a). Mach das und dabei wird Dir was auffallen, was die Frage am Ende beantwortet.

Comments

Irritierend ist die Null.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \ddot{x}+\frac{1}{2} x 八 \\ \sum \limits_{n=1}^{\infty}-a_{n} n^{2} \cos n t-b_{n} n^{2} \sin n t+\frac{a_{0}}{4}+\frac{1}{2} \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n t+b_{n} \sin n t=0 \\ = \frac{a_{0}}{4}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\left(a_{n} \cos n t+b_{n} \sin n t\right)-n^{2}\left(a_{n} \cos n t+b_{n} \sin n t\right)=0\end{array} \)

Da kein Koeffizientenvergleich möglich.

LG

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Die 0 ist für viele Rechnungen die schönste Zahl. Besonders einfach ist ja dabei die FR der rechten Seite und damit der Koeffizientenvergleich.