Umfang des Rechtecks, das die Herzkurven-Funktion: (x² + y² – 1)³ = x² y³ umschließt?

Question

Gebeben ist folgende Funktion:

(x^2 + y^2 – 1)^3 = x^2 y^3 welche eine Herzkurve beschreibt.

Gesucht ist der Umfang des Rechteckes, welches dieses Herz umschliesst. Kann mir jemand weiterhelfen?

Ich denke mal, dass irgendwie die Grenzpunkte/Extremas berechnet werden können. Die Frage ist nur wie?

Input:
$$ \left(x^{2}+y^{2}-1\right)^{3}=x^{2} y^{3} $$

Welchen Umfang hat das rote Rechteck?

Comments

Was ist denn das für eine Klassenstufe? Schon Studium?

Ich kenn diese Art der Funktion gar nicht.

Und aus meiner Sicht ist es keine erlaubte Funktion, da jedem x-Wert nur genau 1 y-Wert zugeordnet werden darf!

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Es ist tatsächlich keine Funktion, sondern eine Kurve in der Ebene, also eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R².

Im Prinzip kann man die Kurve als vektorwertige Funktion parametrisieren (z.B. in Polarkoordinaten durch den Winkel Phi), allerdings müsste man dafür eine der Variablen nach der jeweils anderen auflösen, was bei diese Polynom 6. Grades ziemlich schwierig ist.

Answer 1

Das ganze lässt sich durch eine sogenannte bestimmende Gleichung

F(x,y) = (x²+y²-1)³-x²y³ = 0



Mithilfe des sogenannten impliziten Rechnens, kann man jetzt bei Kenntnis eines Punktes auf der Kurve zumindest eine Funktion für x'(y) sowie y'(x) ermitteln.

Für das totale Differential von F gilt:

dF = (6x(x²+y²-1)²-2xy³)*dx + (6y(x²+y²-1)²-3x²y²)*dy = 0

(Wenn bereits F(x,y) = 0 ist, ist natürlich auch das Differential identisch 0, da sich da nichts ändern kann.)

Leitet man also F einmal nach x und einmal nach y ab, so erhält man die beiden impliziten Ableitungen:

x'(y)=-(6y(x²+y²-1)²-3x²y²)/(6x(x²+y²-1)²-2xy³)

y'(x)=-(6x(x²+y²-1)²-2xy³)/(6y(x²+y²-1)²-3x²y²)



Für die Extrema in x muss also y'(x) = 0 gelten, für die Extrema in y muss x'(y) = 0 gelten.

Es ergeben sich die beiden Gleichungen:

0 = -6y(x²+y²-1)²+3x²y²

für die horizontalen Extrema.



0 = -6x(x²+y²-1)²+2xy³

für die minimalen Extrema,

wobei natürlich durch die ermittelten Punkte immer noch die Zwangsbedingung F(x,y)=0 respektiert werden muss.



Ich muss sagen, dass ich hier nicht selbst weiterrechnen kann. Selbst Wolframalpha gibt von jetzt an nur noch gerundete Lösungen aus, sodass ich davon ausgehe, dass diese numerisch gewonnen werden und eventuell sogar analytisch nicht berechenbar bin. Ich erläutere am Ende noch kurz, wie das funktioniert.



Gibt man in die Wolframalpha-Eingabezeile die Anfrage "0 = -6y(x²+y²-1)²+3x²y²; 0=(x²+y²-1)³-x²y³" ein, so erhält man als Lösungen

x≈+-1,139

y≈0,55

Für die horizontale Länge gilt also Δx≈2,280.

Für die vertikalen Maxima erhält man durch Eingabe von "0= -6x(x²+y²-1)²+2xy³ ; 0=(x²+y²-1)³-x²y³" erhält man

x≈+-0.51

y≈1,237



und den unteren Punkt:

x=0

y=-1

das gibt insgesamt Δy≈2,237



Für den Umfang des Rechtecks folgt dann:
U = 2*(Δx+Δy) ≈ 9,029

Numerische Berechnung:

Man wählt einen Startpunkt, der auf der Kurve liegt - den kann man z.B. durch Raten oder Ausprobieren ermitteln, und geht folgendermaßen vor. Außerdem wählt man eine Iterationsschrittweite τ>0 aber möglichst klein. (Je kleiner, desto größer der Rechenaufwand aber desto genauer das Ergebnis.)

Jetzt folgt die Iteration:

1.) Berechne x'(x_i,y_i)=-(6y_i(x_i²+y_i²-1)²-3x_i²y_i²)/(6x_i(x_i²+y_i²-1)²-2x_iy_i³) für den Punkt. Falls x'(x_i,y_i)=0 gilt, handelt es sich um einen möglichen Extrempunkt.

2.) Falls x'(x_i,y_i)≠0, ermittle einen neuen Punkt gemäß:

x_i+1=x_i+τ*x'(x_i,y_i)

y_i+1=y_i+τ

3.) Zurück zu 1.)

Wirklich korrekt ist diese Vorgehensweise natürlich nur für τ→0, aber für größere τ lässt sich der Fehler abschätzen und so zumindest angeben.

Answer 2

Du kannst die Gleichung nach y auflösen:

$$ y = 0,5 · \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } \pm \sqrt { 0,25 · \sqrt [ 3 ] { x ^ { 4 } } + 1 - x ^ { 2 } } $$

Als zwei Graphen gezeichnet:

Der Plotter zeichnet hier nicht ganz zu Ende, aber beide berühren sich!

Den Punkt unten kannst du ermitteln, indem du für die Funktionsgleichung (blauer Graph) x = 0 setzt, dann erhältst du für y:

$$ \begin{array} { l } { y = 0,5 · \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } - \sqrt { 0,25 · \sqrt [ 3 ] { x ^ { 4 } } + 1 - x ^ { 2 } } } \\ { y = 0,5 · \sqrt [ 3 ] { 0 ^ { 2 } } - \sqrt { 0,25 · \sqrt [ 3 ] { 0 ^ { 4 } } + 1 - 0 ^ { 2 } } } \\ { y = - \sqrt { 0 + 1 } } \\ { y = - \sqrt { 1 } } \\ { y = - 1 } \end{array} $$

Den Punkt oben erhältst du über den Hochpunkt aus der Funktionsgleichung (roter Graph). y ≈ 1,237 (siehe Antwort Julian-Mi)

Den Punkt rechts erhältst du, indem du den Schnittpunkt der beiden Graphen berechnest (zur nummerischen Berechnung hat Julian-Mi bereits etwas geschrieben). Siehe nachstehend. Lösung x ≈  1,139

$$ \begin{array} { l } { 0,5 · \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } - \sqrt { 0,25 · \sqrt [ 3 ] { x ^ { 4 } } + 1 - x^2 } = 0,5 · \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } + \sqrt { 0,25 · \sqrt [ 3 ] { x ^ { 4 } } + 1 - x ^ { 2 } } } \\ { - \sqrt { 0,25 · \sqrt [ 3 ] { x ^ { 4 } } + 1 - x ^ { 2 } } = \sqrt { 0,25 · \sqrt [ 3 ] { x ^ { 4 } } + 1 - x ^ { 2 } } } \end{array} \\ \begin{array} { l } { - \left( 0,25 · \sqrt [ 3 ] { x ^ { 4 } } + 1 - x ^ { 2 } \right) = 0,25 · \sqrt [ 3 ] { x ^ { 4 } } + 1 - x ^ { 2 } } \\ { 0 = 0,25 · \sqrt [ 3 ] { x ^ { 4 } } + 0,25 · \sqrt [ 3 ] { x ^ { 4 } } + 1 + 1 - x ^ { 2 } - x ^ { 2 } } \\ { 0 = 0,5 · \sqrt [ 3 ] { x ^ { 4 } } - 2 x ^ { 2 } + 2 } \end{array} $$

Der Graph dieser "Nullstellenfunktion" sieht wie folgt aus. Du siehst hier auch, dass die Funktion bei x ≈ 1,139 eine Nullstelle hat:

Zusammenfassung:

So hast du also für die Höhe -1 bis 1,237 und für die Breite -1,139 bis 1,139.

Demnach einen Umfang für das Rechteck von: 2*2,237 + 2*2,278 = 4,474 + 4,556 = 9,03

Comments

Die Frage ist natürlich wie man das nach x auflöst.
Ich zumindest habe da keine Idee, wie das ohne erheblichen Aufwand möglich ist.

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Nach x? Du meinst in deiner Ausführung zu den Extrema?

Für den interessierten Leser: Das Auflösen der ursprünglichen Gleichung nach y ist über die p-q-Formel möglich:

$$ ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1)^{ 3 } = x^{ 2 }*y^{ 3 } \quad |\sqrt [ 3 ]{  } \\ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1 = \sqrt [ 3 ]{ x^{ 2 }*y^{ 3 } } \\ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1 = \sqrt [ 3 ]{ x^{ 2 } } *y\\ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-\sqrt [ 3 ]{ x^{ 2 } } *y-1 = 0\\ { y }^{ 2 }-\sqrt [ 3 ]{ x^{ 2 } } *y{  + (x }^{ 2 }-1) = 0  \quad | p-q-Formel\\ \quad | p=-\sqrt [ 3 ]{ x^{ 2 } } und q={ (x }^{ 2 }-1)\\ \quad | { allg. x }_{ 1,2 } = -(\frac { p }{ 2 } ) \pm \sqrt { (\frac { p }{ 2 } )^{ 2 }-q } \\ y_{ 1,2 } = -(\frac { -\sqrt [ 3 ]{ x^{ 2 } }  }{ 2 } ) \pm \sqrt { (\frac { -\sqrt [ 3 ]{ x^{ 2 } }  }{ 2 } )^{ 2 }-{ (x }^{ 2 }-1) } \\ y_{ 1,2 } = \frac { \sqrt [ 3 ]{ x^{ 2 } }  }{ 2 }  \pm \sqrt { \frac { (-\sqrt [ 3 ]{ x^{ 2 } } )^{ 2 } }{ 2^{ 2 } } -{ x }^{ 2 }+1 } \\ { y }_{ 1,2 } = \frac { 1 }{ 2 } *\sqrt [ 3 ]{ x^{ 2 } }  \pm \sqrt { \frac { \sqrt [ 3 ]{ x^{ 4 } }  }{ 4 } -{ x }^{ 2 }+1 } \\ y_{ 1,2 } = 0,5*\sqrt [ 3 ]{ x^{ 2 } }  \pm \sqrt { 0,25*\sqrt [ 3 ]{ x^{ 4 } } -{ x }^{ 2 }+1 } $$