Sei (V, ( , )) ein Euklidischer Vektorraum mit dim V < ∞.

Question

1. Für v ∈ V sei f _v : V → K definiert durch f_v (v′) = (v, v′). Zeigen Sie, dass fv ∈ V^∨.
2. Sei F : V → V^v die Abbildung definiert durch F (v) = f_v. Zeigen Sie, dass F linear ist.
3. Zeigen Sie, dass F ein Isomorphismus ist.
4.Sei M ⊂ V eine Teilmenge und seien M^⊥= {v ∈ V | (v, v′) = 0 für alle v′∈ M} und M^⊤= {ϕ ∈ V^∨| ϕ(v′) = 0 für alle v′∈ M }.
Zeigen Sie, dass F (M^⊥) = M^⊤.

 

Bei der Aufgabe stehe ich komplett auf dem Schlauch und auch Google ist da nicht so wirklich hilfreich.

Answer 1

Bei den Antworten bin ich mir nicht ziemlicher!

1)

f_v  ist ja so definiert: f_v : V → K   

V^v ist die Menge aller linearen Abbildungen von  V → K.

resultiert daraus nicht automatisch das f_v ∈ V^v ist?

Comments

2) Zu zeigen F ist linear :  Sei v₁ , v₂ ∈ V und λ₁ λ₂ ∈ K

F(λ₁ v₁ + λ₂ v₂ )  =  λ₁ F(v₁ )  +  λ₂ F(v₂ )

F(λ₁ v₁ + λ₂ v₂ ) =  F(λ₁ v₁ ) + F(λ₂ v₂ )  = λ₁ F(v₁ )  +  λ₂ F(v₂ )

 

F ist linear.

könnte das so richtig sein?

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Hast du auch noch was zu 3. 4.?

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Ich glaube man muss hier mit komposition arbeiten wegen F(v)=f_v

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Wäre super, wenn sich das hier nochmal jemand anschauen könnte! Ich muss das Blatt unbedingt lösen, da mir ansonsten die nötigen Punkte für die Zulassung fehlen :(

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hat jemand eine lösung dazu?