Sei V=ℚ(√2). Dann ist V ein ℚ-Vektorraum. Zeigen Sie, dass (1, √2) eine Basis von V ist.
Nach Definition von Basis in https://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Vektorraum) gilt:
Jedes Element von lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus darstellen und diese Darstellung ist eindeutig.
Nun ist gemäss Definition
V=ℚ(√2): = {x + y√2| x und y Elemente von i V=ℚ}
Die Darstellung als Linearkombination von 1 und √2 ist evident:
V=ℚ(√2): = {x*1 + y√2| x und y Elemente von i V=ℚ}
Nun könnte man annehmen, dass diese Darstellung nicht eindeutig ist.
Also Annahme es gibt a und b in |Q , so dass
a *1 + b √2 = x*1 + y√2 und (x,y) ≠ (a,b) Dann gibt es links und rechts einen Hauptnenner. Das KgV der beiden sei c.
Mult mit c ergibt überall ganzzahliche Faktoren
ac *1 + bc √2 = xc*1 + yc √2 | - ac *1 - yc √2
ac *1 -xc *1 = - bc √2 + yc √2
(ac -xc) *1 =( - bc + yc) √2 |:(-bc + yc)
(ac -xc) : (-bc + yc) = √2 Da ac, xc, bc und yc ganzzahlig sind, ist Wurzel aus 2 eine rationale Zahl.
Das steht im Widerspruch zu bekannten Tatsachen über Wurzel aus 2.
Deshalb war die Annahme falsch und (a,b) ≠ (x,y). q.e.d.
nachtrag:
Denn Fall b=y muss man noch separat betrachten.
a *1 + b √2 = x*1 + b√2 |-b √2
a*1 = x* 1
Also a=x. Somit (a,b) = (x,y). Das ist gemäss Voraussetzung ausgeschlossen.
