Extremstellen finden (Sattelpunkt, Maxima, Minima)

Question

Aufgabe: Nr.2 b) 

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} f(x, y)=\arctan (x y) \\ \overrightarrow{0}=\nabla f(x, y) \\ =\left\{\begin{array}{l}\frac{y}{1+(x y)^{2}}=0, I \\ \frac{x}{1+(x y)^{2}}=0, I I\end{array}\right. \\ x_{1}=0 \\ y_{1}=0\end{array} \)

Wie muss man hier vorgehen, einen Ansatz habe ich bereits

Problem/Ansatz:

Aber komme nicht weiter. Aber x müsste ja 0 sein und y dann auch 0, aber kann auch falsch liegen

Text erkannt:

2. Aufgabe
(19 Punkte)

Es sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch
\( f(x, y)=\arctan (x y) \)
(a) Bestimmen Sie alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen von \( f \).
(b) Bestimmen Sie die kritischen Punkte von \( f \) und geben Sie jeweils an, ob es sich um Maximalstellen, Minimalstellen oder Sattelpunkte handelt.

Answer 1

Soweit ok, es fehlt aber Text, da sind nur hingeworfene Terme.

Also, welches Teilergebnis von b) hast Du bereits? Notiere in vollständigen Sätzen.

Comments

Die Ableitungen hatte ich schon vorher. Habe jetzt das Ergebnis.

Text erkannt:

Oxder Sattelpunkte handelt.
(c) Geben Sle das Taylorpolymom \( T_{1} f(x) \) erster Ont
\( \begin{array}{l} f(x, y)=\arctan (x y) \\ \vec{c}=\nabla f(x, y) \end{array} \)
\( \begin{array}{l} x_{1}=0 \\ y_{1}=0 \end{array} \)

Hesse - matrix
\( D^{2} f(x, y)=\left(\begin{array}{ll} -\frac{2 y^{3} x}{\left(y^{3} x^{2}+1\right)^{2}} & -\frac{y^{2} x^{2}-1}{\left(y^{2} x^{2}+1\right)^{2}} \\ -\frac{x^{2} y^{2}-1}{\left(x^{2} y^{2}+1\right)^{2}} & -\frac{2 x^{3} y}{\left(x^{2} y^{2}+1\right)^{2}} \end{array}\right) \)
\( f(0,0) \) in die-Hesse-Matrix einsetzen:
\( \begin{array}{l} =D^{2} f(0,0)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \\ \operatorname{det}\left[D^{2} f(0,0)\right]=0-1=-1 \end{array} \)

Da det \( \left[D^{2} f(0,0)\right]=-1<0 \) ist die
Matrix indefinit.
somit liegt in \( [0,0] \) ein Sattelpunkt vor.

---

Ergebnis (dass in (0,0) ein Sattelpunkt vorliegt) stimmt.

Was fehlt (wie oben schon erwähnt) das Ergebnis der kritischen Punkte (welche sind das und warum, warum gibt es keine weiteren?) und was bedeutet das für das Endergebnis?

Answer 2

Den kritischen Punkt \((0,0)\) hast du ja schon. Bestimme nun die Hesse-Matrix sowie deren Definitheit, zum Beispiel über die Eigenwerte. Schau in deine Unterlagen, wie ihr das gemacht habt. Dann kannst du schlussfolgern, worum es sich handelt.

Comments

Habe es jetzt so gemacht, dass ich anschließend die Hesse-Matrix und dann die Determinante gebildet habe, somit ist das ein Sattelpunkt, also denke ich mal.

Text erkannt:

Oxder Sattelpunkte handelt.
(c) Geben Sle das Taylorpolymom \( T_{1} f(x) \) erster Ont
\( \begin{array}{l} f(x, y)=\arctan (x y) \\ \vec{c}=\nabla f(x, y) \end{array} \)
\( \begin{array}{l} x_{1}=0 \\ y_{1}=0 \end{array} \)

Hesse - matrix
\( D^{2} f(x, y)=\left(\begin{array}{ll} -\frac{2 y^{3} x}{\left(y^{3} x^{2}+1\right)^{2}} & -\frac{y^{2} x^{2}-1}{\left(y^{2} x^{2}+1\right)^{2}} \\ -\frac{x^{2} y^{2}-1}{\left(x^{2} y^{2}+1\right)^{2}} & -\frac{2 x^{3} y}{\left(x^{2} y^{2}+1\right)^{2}} \end{array}\right) \)
\( f(0,0) \) in die-Hesse-Matrix einsetzen:
\( \begin{array}{l} =D^{2} f(0,0)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \\ \operatorname{det}\left[D^{2} f(0,0)\right]=0-1=-1 \end{array} \)

Da det \( \left[D^{2} f(0,0)\right]=-1<0 \) ist die
Matrix indefinit.
somit liegt in \( [0,0] \) ein Sattelpunkt vor.

---

Die Matrix ist indefinit und daher liegt ein Sattelpunkt vor. Aber die Begründung für die Indefinitheit wäre mir zu ungenau.

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Steht aber hier so. Beim roten Pfeil

Text erkannt:

17.6 Kriterien für Definitheit
TECHNISCHE
UNIVERSITAT
DARMSTADT
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Definitheit einer symmetrischen Matrix \( A \) festzustellen, ohne die Eigenwerte explizit berechnen zu müssen.
- Spezialfall \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \), also \( A \) eine \( (2 \times 2) \)-Matrix:

Hier gilt \( \lambda_{1} \lambda_{2}=\operatorname{det} A \) und \( \lambda_{1}+\lambda_{2}=a_{11}+a_{22} \). Damit folgt
\( \operatorname{det} A>0 \) und \( a_{11}>0 \Rightarrow A \) positiv definit \( \Rightarrow \) Minimum
\( \operatorname{det} A>0 \) und \( a_{11}<0 \Rightarrow A \) negativ definit \( \Rightarrow \) Maximum
\( \rightarrow \operatorname{det} A<0 \quad \Rightarrow A \) indefinit \( \quad \Rightarrow \) Sattelpunkt.

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Das ist ja auch richtig. Es ist hier aber wichtig, dass es eine \((2\times 2)\)-Matrix ist. Im Allgemeinen gilt das nämlich nicht, also für andere Matrizen. Darauf wollte ich hinaus und das meinte ich mit "zu ungenau".

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Bemerkung (Txman “Das stimmt tatsächlich nicht ganz. Man weiss nur das es kein lokales Extremum ist.”)

@Txman: Was soll es denn dann sein?

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Der Begriff des Sattelpunktes in der mehrdimensionalen Analysis ist etwas empfindlicher und nicht so klar definiert wie im Eindimensionalen. In wissenschaftlichen Quellen sagt man deshalb auch gerne einfach: Kein lokales Extremum…

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Den Unterlagen des FS zufolge liegt eine Def. von Sattelpunkt vor, und nach dieser folgt aus H indefinit, dass ein solcher vorliegt. Nun erkläre Du, Txman, präzise mit Quellen, warum das nicht stimmen sollte.

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Ja lese es gerade auch, das es manchmal Sattelpunkt genannt wird. Aber da ist halt auch die Frage ob es trotzdem so professionell ist, da man nicht weiss ob man es jetzt hier einfach so Sattelpunkt nennt oder wirklich damit auch klarmachen möchte, das es die Funktion eines Sattelpunktes hat wie im Eindimensionalen.

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@nudger

Auf der Suche nach der Definition des Sattelpunktes habe ich etwas gefunden.

Wir hatten ja mal diskutiert, ob bei einer Funktionale f : D —> |R auf einer Menge D ⊂ |R^n definiert, ein Argument a ∈ D mit der Extremumseigenschaft, Extremum heisst. Hier einigten wir uns ja, das es richtig ist, das Bildelement f(a) ∈ |R als das Extremum zu bezeichnen. Da wollte ich ja meinen Professor fragen, was ich auch noch tun werde. Jedoch scheint das tatsächlich auch in manchen anderen Quellen, so wie bei meinem Professor, definiert zu sein. Siehe z.B. erste Seite in einem Skript von der Universität München :

https://www.ph.tum.de/academics/bsc/break/2014s/fk_MA9203_03_course.pdf

Ich bin immernoch fest überzeugt, das das nicht so sein kann, doch wundert es mich nur.

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Ein Skript als Quelle ist immer äußerst schwierig, da es in der Regel mehr Fehler enthält als bspw. gute Fachliteratur. Im Otto Forster Analysis 2 steht bspw. auch nur, dass es dann um kein Extremum handelt. In einem Beispiel kurz danach, wird dann aber geschlussfolgert, dass es ein Sattelpunkt ist. Da darf man sich nun also fragen, wenn es kein Extremum ist, was soll es dann sein? Im Zweidimensionalen kann man sich das ja noch veranschaulichen, aber bei höherdimensionalen Funktionen wohl nicht mehr.

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Die obige Quelle ist ein Ferienkurs, der von zwei Physikstudenten geschrieben wurde.

Answer 3

die partiellen sind richtig

beachte den gradient schreibt man als Vektor und nicht so!

das (0|0) der einzige kritische punkt ist ist auch richtig

du brauchst hier auch keine Hessmatrix um zu sehen das [(0|0),0] ein sattelpunkt ist. der Grund ist das arctan(xy)=0 auch für (x,y)≠0 gilt, z.b. x beliebig und y=0 und das es (x,y)≠0 gibt mit arctan(xy)>0 und <0.

=> es kann kein Extremum vorliegen