Multiple- Choice-Test (Wahrscheinlichkeiten)

Question

Aufgabe

Multiple-Choice-Tests lassen sich einfach auswerten. Wenn n Fragen eines solchen Tests unabhängig sind, lässt sich das Ausfüllen eines Testbogens als Bernoullikette auffassen, wobei die Trefferwahrscheinlichkeit p die „Fachkompetenz" misst. Man besteht den Test, wenn man von den 10 Fragen mindestens 8 richtig beantwortet.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei dem Test
1) besteht, obwohl man keine Ahnung hat und nur zufällig ankreuzt, also „pures Glück hat"?
2) durchfällt, obwohl die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Frage richtig beantwortet, 90% beträgt, also „Pech hat"?
b) Was ändert sich bei a), wenn man zum Bestehen 9 Fragen richtig beantworten muss?

=> Bei einem Mathetest gib es 10 Fragen mit jeweils vier Antworten, von denen nur eine richtig ist.

Ansatz

Text erkannt:

3. 293 , aurgade 13 a
\( \begin{aligned} (1) P(x \geqslant 8) & =\binom{10}{8} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{8} \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+\binom{10}{9} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{9} \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{1}+\binom{10}{10} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{10} \cdot\binom{3}{4}^{0} \\ & =4,16 \approx 0,042 \% \end{aligned} \)

Ist die Aufgabe 13a (1) richtig? Und wie kann ich die anderen Aufgaben lösen?

Comments

Text erkannt:

S. 293 , qufgade 13 a
(1) \( x \) : Anzeni rionige anvworten", \( n=10, k \geq 8, p=\frac{1}{4}, q=\frac{3}{4} \)
\( P(x \geq 8)=\operatorname{Bcd}(8,10,10,0.25) \approx 0.000415 \varepsilon 0.0415 \% \)
(2) \( x \) : Anzon' 1 ,farsche antworten: \( n=10, k<8, p=0,9 \)
\( P(x<8)=\operatorname{coa}(0,7,10,0.9) \approx 0.07=7 \)
S. 293, anfgade 13b
\( \begin{array}{l} P(x \geq g)=B c a 19,10,10,025) \approx 0.0000295 \& 0,00295 \% \\ \rightarrow \text { manischervicnkeit verringertsch } \end{array} \)

Das sind meine endgültige Lösungen

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Bei 2) hat dein \(X)\ dieselbe Bedeutung wie bei 1).

Zu b) fehlt der zweite Teil.

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Also ist das x: Anzahl „richtige Antworten“?

Und ist die Rechnung generell richtig?

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Ja. Mit dem anderen X würde es doch gar nicht passen.

Answer 1

Deine Antworten sind alle richtig. Prima gemacht. Es wurde bereits gesagt das du bei b2) noch etwas machen solltest

Hier meine Rechnungen/Lösungen zur Kontrolle

[spoiler]

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei dem Test

1) besteht, obwohl man keine Ahnung hat und nur zufällig ankreuzt, also "pures Glück hat"?

P(X ≥ 8 | N = 10 ; p = 0.25) = ∑(COMB(10, x)·0.25^x·0.75^(10 - x), x, 8, 10) = 109/262144 = 0.0004158

2) durchfällt, obwohl die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Frage richtig beantwortet, 90% beträgt, also "Pech hat"?

P(X ≤ 7 | N = 10 ; p = 0.9) = ∑(COMB(10, x)·0.9^x·0.1^(10 - x), x, 0, 7) = 87738533/1250000000 = 0.07019

b) Was ändert sich bei a), wenn man zum Bestehen 9 Fragen richtig beantworten muss?

1) P(X ≥ 9 | N = 10 ; p = 0.25) = ∑(COMB(10, x)·0.25^x·0.75^(10 - x), x, 9, 10) = 31/1048576 = 2.956·10^(-5)

2) P(X ≤ 8 | N = 10 ; p = 0.9) = ∑(COMB(10, x)·0.9^x·0.1^(10 - x), x, 0, 8) = 2639010709/10000000000 = 0.2639

[/spoiler]

Comments

Vielen Dank!!

Answer 2

2. n= 10, p= 0,9

Gesucht ist P(X<8) = 1-P(X>=8)  = 1-P(X=8)-P(X=9) -P(X=10)

2a) p= 0,25

P(X>=9) = P(X=9) +P(X=10)

2b) p= 0,9

P(X<9) = 1-P(X=9)-P(X=10)

Comments

Ist also meine Antwort zu 1 richtig?

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Kann ich für a2.

Bcd (0,7,10,0.9) in den Taschenrechner eingeben? Oder ist das Befehl falsch?

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Ist also meine Antwort zu 1 richtig?

Ja.

Ich benutze gern diese Seite, weil mein TR das Programm nicht hat.

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm