Summenformel Induktiv beweisen Friedrich Gauß

Question

Aufgabe: Summenformel induktiv berechnen. 1 + 2+...+ n = n * (n + 1) \ 2

…

Problem/Ansatz: Bis n * (n + 1) + 2 * (n + 1) / 2 verstehe ich, aber den Schritt zu (n + 1) * (n + 2) / 2 kommt bei mir nicht ganz im Kopf an. Könnte mir bitte jemand den zwischen Schritt dazu erklären?

Comments

Voraussetzung: Es gibt eine Zahl n, sodass gilt: 1 + 2+...+ n = n · (n + 1) \ 2

Behauptung: Dann gilt auch 1 + 2+...+ n + (n+1)= (n+1)·(n + 2) \ 2.

Addiere auf beiden Seiten der Voraussetzung (n+1) und forme die rechte Seite der Gleichung um (vorwärts und rückwärts rechnen).

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n * (n + 1) + 2 * (n + 1) / 2

Hier fehlen Klammern. Besser mit LaTeX:

$$ \frac{\green{n}\red{(n+1)}\green{ + 2}\red{(n+1)}}{2} $$

Jetzt siehst du, dass (n+1) ausgeklammert werden kann.

$$ \frac{\green{(n+2)}\red{ (n+ 1)}}{2} $$

:-)

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Hallo MontyPython, genau bei diesem Schritt fehlt mir wohl noch eine Mathe Wissenslücke. Ich bringe mir aktuell wegen meines Studiums einiges an Mathe selbst bei und finde zu diesem Schritt nichts. Ich erkenne da leider noch nicht, warum (n + 1) ausgeklammert werden kann. Wie heißt denn das Anwendungsgesetz dazu? Dann kann ich mir dazu etwas anschauen. :-)

Answer 1

(n+1) ausklammern und zusammenfassen

Comments

Man muss hier mittlerweile einfach anerkennen, wenn auf die konkret gestellten Fragen eingegangen wird! +1

Der Großteil ignoriert das ja leider.

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Danke. Mir ist auch nicht klar, was diese anderen Antworten bezwecken. Warum respektiert man das Anliegen des FS nicht?

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Selbstdarstellung. Immer noch. Einen anderen Zweck sehe ich da tatsächlich nicht. Genauso wie MC, der ständig alles wiederholt und lediglich seine Musterlösung ergänzt. Aber wenn man solche Antworten meldet, weil an sich kein Bezug zur Frage ersichtlich ist, wird man ja auch nur dumm angemacht.

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Die Regel lautet ba+ca=(b+c)a. Wende das im Zähler an.

Wiederhole diese Regeln, bevor du weiter im Thema Induktion voran gehst.

Answer 2

Hallo.

Vorab gilt ertsmal (n+1)(n+2) = n^2 + 3n+2.

Hier nun der Ansatz:

Für n = 1 gilt die Behauptung.

Sei n nun eine beliebige natürliche Zahl, für die die Formel 1+2+…+n = n(n+1)/2 gilt. Dann folgt mit der Annahme für dieses n die Gleichheit:

1+2+…+n+(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)

= n(n+1)/2 + 2(n+1)/2 = (n(n+1)+2(n+1))/2

= (n^2 + n + 2n+2)/2 = (n^3 + 3n+2)/2

= (n+1)(n+2)/2.