Denkfehler? LGS mit Variable t

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufage 5
\( \begin{array}{l} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & + & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \underset{\text { III-2・II }}{\rightarrow}\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & + & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -3 & -1 & -1 \end{array}\right) \underset{\text { I-II }}{\longrightarrow} \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \left(\begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & -5-1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & ++3 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & -1 & -1 \end{array}\right) \underset{\text { III }+ \text { II }}{\rightarrow}\left(\begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & -5-1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & ++3 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & + & -1 & 1 \end{array}\right) \\ (-5-8) \cdot x_{3}=-2 \quad \text { I. } \\ \Rightarrow x_{1}+(t+3) \cdot x_{3}=2 \text { II } \\ x_{1}-x_{2}+d \cdot x_{3}-x_{4}=1 \text { III } \end{array} \)

I nach \( x_{3} \) aufliosen:
\( .5 x_{3}+1 x_{3}=.2 \)
\( \begin{array}{c} x_{3}(.5+t)=2 /:(5+t) \\ x_{3}=\frac{2}{5+t} \end{array} \)
\( \begin{aligned} \text { II: } & \text { nach } x_{3} \text { aufloisen } \\ & x_{1}+(t+3) x_{3}=2 / x_{3}=\frac{2}{5+6} \\ \Leftrightarrow & x_{1}+\frac{(t+3+2}{5+t}=2 \\ \Leftrightarrow & x_{1}+\frac{2 t+6}{5+t+}=2 \\ \Leftrightarrow & x_{1}+\frac{++6}{6}=2 / \cdot 6 \\ \Leftrightarrow & x_{1}+t+6=12 /-6 \\ & x_{1}+\frac{t}{}=6 \\ & x_{1}=\frac{6}{d} \end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe die Lösung zwar raus, trotzdem hätte ich eine Verständnisfrage. Ich musste rausfinden für welchen t das LGS keine Lösung hat, aus der ersten Gleichung lässt sich rauslesen: t=-5. Aber was wäre wenn man die zweite Gleichung berücksichtigt, da sieht man, dass t = 0 nicht funktioniert. Wo habe ich den Denkfehler?

Answer 1

Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen. Das, was du also in diesem Schritt beim Bruch gemacht hast ("durch \(t\) gekürzt") funktioniert also nicht. Daher liefert die zweite Gleichung auch nicht die Unlösbarkeit für \(t=0\), sondern nach wie vor für \(t=-5\).

Answer 2

Hallo.

Erstmal, das t eine beliebige Zahl ist, sollte klar sein. Du hast das Lösen des LGS dir schwerer gemacht, als es ist.

Ignorierse erstmal die vierte Spalte von dieser (3x4)-Matrix (ausser beim Rechnen). Beziehe dich erstmal auf die ersten drei Spalten, also die (3x3)-Matrix und löse diese bekanntlich. Du wählst die Pivots aus der Hautdiagonalen der (3x3)-Matrix und eliminierst damit du unteren. Wenn du dann die (3x3)-Matrix in Zeilenstufenform gebracht hast, fängst du mit der dritten Zeile an und machst das Rückeinsetzenverfahren. Das LGS hat insgesamt unendlich Lösungen, d.h. du wirst am Ende mindestens eine freie Variable wählen müssen.

Am Ende kannst du es mit der Seite:

https://matrixcalc.org/de/slu.html#solve-using-Gaussian-elimination%28%7B%7B1,1,1,1,1%7D,%7B1,-1,t,1,1%7D,%7B2,1,-1,1,1%7D%7D%29

kontrollieren.

Comments

Ganz andere Frage, was wäre die Lösung für x2 und x4, denn wir hätten die Gleichung x1 plus x2 = -1/5 ? Die Seite funktioniert bei mir nicht.

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Ich rate dir das LGS nochmal schrittweise so wie ich es beschrieben habe, zu lösen. Dann kannst du nämlich direkt die Lösung ohne weitere grossen Zwischenschritte aufschreiben,

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Die Frage war allerdings eine völlig andere, da nur nach der Lösbarkeit des LGS gefragt wurde. Der Rechenweg des FS ist also völlig in Ordnung, der Fehler liegt woanders. Statt danach zu schauen, versucht man einfach nur andere Rechenwege aufzuzwingen, die die eigentliche Frage jedoch nicht beantworten.