Hallo.
Da liegt ein Missverständnis vor!
Setze erst F : |R^2 —> |R als F(t,x) := 4t^3 x^2. Der Satz von Picard-Lindelöf sagt, das das AWP x‘(t) = F(t,x(t)), x(a) = b mit a,b ∈ |R genau eine eindeutige Lösungsfunktion x : U —> |R, definiert auf einem Intervall U ⊂ |R, hat, falls F bzgl. der zweiten Variablen x lokal Lipschitzstetig ist. Tatsächlich ist F hier bzgl. x lokal Lipschitzstetig.
Um lokale Lipschitzstetigkeit bzgl. der Variablen x zu zeigen, kannst du überprüfen ob die partielle Ableitung von F nach x existiert und stetig ist. Denn nach einem Satz folgt dann die lokale Lipschitzstetigkeit der Funktion nach x.
Die partielle Ableitung von F nach x ist dann also F_x (t,x) = 8x t^3 für alle (t,x) ∈ |R^2 und anscheinend ist diese Funktion F_x auch stetig auf ganz |R^2. Daher folgt dann die lokale Lipschitzstetigkeit von F bzgl. x und somit die Aussage über das AWP.
Übrigens kannst du das AWP auch seperabel lösen und wirst es dann auch feststellen :)
