Nullstellen einer kubischen Funktion

Question

Aufgabe:

Teil einer Aufgabe ist es die Nullstellen dieser Funktion zu berechnen: f(x) = -x + (x^2-4)/(x^2+4).

Problem/Ansatz:

Mir ist es jedoch schleierhaft, wie die Nullstellen ohne Anwendung der Cardanischen Formeln berechnet werden sollen, die wiederum nicht in der Schule (Bayern, FOS) gelehrt wird.
Da ich schon länger an der Aufgabe sitze, die Aufgabe jedoch für uns lösbar sein solle und es bis zum nächsten Mathe-Unterricht noch etwas dauert, bin ich gespannt auf Eure Antworten!

Comments

Ich bezweifle, dass die Aufgabe wirklich so lautet. Wie lautet die Aufgabe vollständig (alle Teile) im Original?

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Das ist auch vollkommen korrekt, jedoch ist die Nullstellenberechnung als solche direkt im Fließtext genannt, den ich unten zusammengefasst habe. Die kubische Gleichung wird hier nicht direkt erwähnt; den Titel habe ich der Frage selbstständig gegeben, da es sich bei Umformung ja um eine solche handeln müsste.

Untersucht werden sollen:
Symmetrie- und Grenzwertverhalten

Schnittpunkt mit der y-Achse und die Nullstellen mit Vielfachheit

Art eventueller Definitionslücken

Richtung der Annäherung an die Asymptote(-n)

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Und wie lautet die Funktion im Original? Wäre nicht das erste Mal, dass die falsch abgeschrieben ist (Klammern...).

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Hier mal ein grundsätzlicher Tipp: Ein gutes Fotodokument würde in diesem und in vielen anderen Fällen viele Unklarheiten von vornherein vermeiden. Die etwas einschüchternd wirkenden Warnhinweise beim Einstellen einer Frage darfst du getrost ignorieren.

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tiger, du hast doch sicherlich - wie alle Schüler*innen heute - digitales Werkzeug und darfst dies auch benutzen.

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Es sollte sich eigentlich kein Fehler eingeschlichen haben, hier ein Bild der Funktion.

Meines Erachtens ist diese Aufgabe mit unserem Wissens-/Fähigkeitsstand nicht vollständig lösbar, auch ein bereits vorgeschlagenes Näherungsverfahren haben wir noch nie durchgeführt, wobei dies noch denkbar wäre. Die Lösungsformel für kubische Gleichungen hingegen sind weder Teil des Lehrplans - soweit ich weiß - noch effizient; da wäre die Zeit einer Schulaufgabe durch solch eine Aufgabe schon ausgeschöpft.

Text erkannt:

\( f(x)=-x+\frac{x^{2}-4}{x^{2}+4} \)

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mit unserem Wissens-/Fähigkeitsstand nicht vollständig lösbar ... haben wir noch nie durchgeführt ... weder Teil des Lehrplans ... da wäre die Zeit einer Schulaufgabe durch solch eine Aufgabe schon ausgeschöpft.

Verstehe ich nicht. Wenn Du die Aufgabe lösen willst, dann löse die Aufgabe. Im Zeitalter von Web und überall verfügbaren CAS muss man sich dazu nicht einmal in eine Bibliothek bewegen oder sich Zugang zu einem programmierbaren Rechner verschaffen. Was in einem Lehrplan steht und wieviel Zeit man aufwendet, erscheint mir in diesem Zusammenhang als weniger relevant.

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mit unserem Wissens-/Fähigkeitsstand nicht vollständig lösbar .

Es muss doch zumindest gesagt worden sein, welche Mittel und Verfahren zulässig sind.

Kann man da nicht nachfragen bei der Lehrkraft?

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Du hast die Aufgabe oben bereits korrekt angegeben gehabt. Und wie du richtig erkannt hast, läuft das auf die Lösung einer kubischen Gleichung bzw. den Nullstellen einer kubischen Funktion hinaus.

- x^3 + x^2 - 4·x - 4 = 0

oder auch

x^3 - x^2 + 4·x + 4 = 0

Du könntest anfangen eine Wertetabelle im Intervall [-10 ; 10] mit der Schrittweite 1 machen. Dabei bemerkst du ein Vorzeichenwechsel im Intervall [-1 ; 0]. Dann machst du eine Wertetabelle für genau dieses Intervall mit der neuen Schrittweite 0.1. Jetzt bemerkst du ein Vorzeichenwechsel im Intervall [-0.8 ; -0.7]. Für dieses Intervall machst du dann die nächste Wertetabelle in der Schrittweite 0.01.

So fährt man fort, bis eine gewünschte Genauigkeit erreicht ist oder die Genauigkeit des Taschenrechners an seine Grenzen stößt.

Um zu zeigen, dass es die einzige Nullstelle des Polynoms ist, kann man leicht zeigen, dass es sich hier um eine streng monotone Funktion über R handelt.

Gute Mathelehrer schreiben in die Aufgabe, dass die Nullstellen näherungsweise zu bestimmen sind. Dann weiß man, dass ein Näherungsverfahren zum Einsatz kommen soll und die Nullstelle auf keinen Fall exakt bestimmt werden soll.

Die kubischen Lösungsformeln sind in keinem Bundesland Teil des Lehrplans. Näherungsverfahren allerdings schon.

Obiges Verfahren sollte man auch können, ohne dass es speziell unterrichtet worden ist.

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Gute Mathelehrer schreiben in die Aufgabe, dass die Nullstellen näherungsweise zu bestimmen sind.

Wieviel % der Mathelehrer:innen schätzt du sind didaktisch gut?

Im Netz gefunden:

Eine Untersuchung zeigte, dass eine hohe Anzahl von Lehrkräften in den Bereichen der reflektierenden Denkfähigkeit und der pädagogischen Praxis Verbesserungsbedarf sieht. Die Lehrer
zeigten tendenziell Fortschritte in ihrer professionellen Entwicklung, aber es bleibt eine beträchtliche Anzahl, die möglicherweise nicht die notwendigen didaktischen Fähigkeiten oder das Wissen hat, um den Unterricht effektiv zu gestalten(PLOS
)(ClassPoint
).

Eine andere Studie zu Mathematiklehrstrategien legt nahe, dass die tatsächliche Effektivität im Unterricht stark von der Fähigkeit der Lehrer abhängt, interaktive und ansprechende Methoden zu nutzen, um das Lernen zu fördern(ClassPoint
).

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Die kubischen Lösungsformeln sind in keinem Bundesland Teil des Lehrplans. Näherungsverfahren allerdings schon.

Obiges Verfahren sollte man auch können, ohne dass es speziell unterrichtet worden ist.
@Der_Mathecoach

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Bezüglich des Näherungsverfahrens gebe ich Dir vollständig recht; auch im letzten Schuljahr haben wir mit verschiedenen Näherungen gearbeitet.
Jedoch, wie du schon geschrieben hast, finde ich, dass darauf hingewiesen werden sollte. Ich kann mir jedoch nicht vorstellen, dass das Ziel der Aufgabe ist, an die Nullstelle anzunähern, da das gewiss Zeit kostet, die in der Prüfung anderweitig genutzt werden soll, zumindest hinsichtlich unseres anstehenden Leistungsnachweises. Deshalb hat es mich sowieso gewundert, dass uns diese Aufgabe auferlegt wurde.

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Es muss doch zumindest gesagt worden sein, welche Mittel und Verfahren zulässig sind.

Kann man da nicht nachfragen bei der Lehrkraft?
@simple mind

Tatsächlich wurde dies nicht gesagt, auch das Buch lässt keinerlei Anschein trügen, dass eine exakte Nullstellenbestimmung mit "unseren" Mitteln nicht bei allen Aufgaben/Funktionen möglich ist.

Auch das Nachfragen bei der Lehrkraft war vergangene Woche schwierig, ab morgen haben wir sowieso wieder Mathe.

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Verstehe ich nicht. Wenn Du die Aufgabe lösen willst, dann löse die Aufgabe. Im Zeitalter von Web und überall verfügbaren CAS muss man sich dazu nicht einmal in eine Bibliothek bewegen oder sich Zugang zu einem programmierbaren Rechner verschaffen. Was in einem Lehrplan steht und wieviel Zeit man aufwendet, erscheint mir in diesem Zusammenhang als weniger relevant.
@döschwo

Das sehe ich nicht so, da ein Schulbuch dem Lehrplan angepasst ist, bzw. angepasst sein sollte.

Auch der Aspekt mit der Zeit: Wir üben Aufgaben, die in dieser Art und Weise in Leistungsnachweisen abgefragt werden; dazu zählt eine solche Aufgabe bestimmt nicht.

Aber: Abgesehen davon gebe ich Dir recht; wenn man grundsätzlich die Aufgabe lösen will, dann kann man natürlich entsprechende Methoden anwenden, hier jedoch nicht Sinn der Sache.

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Es fehlt. trotz mehrfachen Nachfragen, die Aufgabenstellung im Original.

Sollte da wirklich stehen "Untersucht werden soll.... Nullstellen..."? Wenn ja, heißt das nicht, dass diese bestimmt werden sollen. Also, nochmal: Bitte die vollständige, ungekürzte Aufgabenstellung.

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Ich kann mir jedoch nicht vorstellen, dass das Ziel der Aufgabe ist, an die Nullstelle anzunähern, da das gewiss Zeit kostet, die in der Prüfung anderweitig genutzt werden soll, zumindest hinsichtlich unseres anstehenden Leistungsnachweises.

Dass die Nullstelle nicht exakt bestimmt werden soll, kann man daran erkennen, dass die exakte Nullstelle bei

x = (6·√177 - 71)^(1/3)/3 - (6·√177 + 71)^(1/3)/3 + 1/3

wäre und eine solche exakte Lösung im Schulbetrieb unüblich ist.

Auch ich ärgere mich hin und wieder, wenn dann nicht dabei steht, dass die Nullstelle eben nur näherungsweise bestimmt werden soll, aber das ist sogar manchmal in Schulbüchern nicht explizit gesagt. Aber eine schnelle Kontroll-Lösung mit TR gibt einen Hinweis darauf, wie solch eine Aufgabe zu lösen ist.

Da die Lösungsformeln im Schulbetrieb ausscheiden bleiben nur 3 Übliche Verfahren:

- Einsatz digitaler Hilfsmittel wie TR, CAS MMS etc.
- Rationale Nullstelle "raten" und Polynomdivision
- Einsatz eines Näherungsverfahrens.

Da es hier keine rationale Nullstelle gibt bleiben eigentlich nur die übrigen zwei Lösungsmöglichkeiten. Und wenn ein CAS oder Taschenrechner mit Möglichkeit der Lösung kubischer Gleichungen in Bayern nicht üblich sind, dann bleibt letztendlich nur ein Näherungsverfahren.

Und das Newtonverfahren ist hier das zweckmäßigste, wenn es dann im Unterricht behandelt wirden ist.

Answer 1

-x + (x^2-4)/(x^2+4) =0 |*(x^2+4)

-x^3-4x +x^2-4 =0

x^3-x^2+4x+4 = 0

Verwende ein Näherungverfahren (Newton)

Comments

f(x) = 0
-x + (x^2 - 4)/(x^2 + 4) = 0
-x·(x^2 + 4) + (x^2 - 4) = 0
- x^3 + x^2 - 4·x - 4 = 0

Da die Funktion auf ganz R streng monoton fallend ist, gibt es nur eine Nullstelle, die mit einem Näherungsverfahren (Wertetabelle) leicht bestimmt werden kann.

x ≈ -0.7522

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Da die Funktion auf ganz R streng monoton fallend ist, gibt es nur eine Nullstelle

Das allein reicht nicht. Z.B. ist exp(-x) auf ganz ℝ streng monoton fallend, hat aber keine Nullstelle.

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Korrektur, für die, die Antworten nicht im Sachzusammenhang deuten:

Da die POLYNOM-Funktion auf ganz R streng monoton fallend ist, gibt es nur eine Nullstelle

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f(x) = 0

Die Funktion f ist kein Polynom.

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Die Funktion y = - x^3 + x^2 - 4·x - 4 ist hingegen ein Polynom.

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Zum Thema Lehrer und Fehler zugeben siehe auch den von 2015 aufgewärmten Thread zur Bewertung von Klassenarbeiten. ;-)

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Korrektur, für die, die Antworten nicht im Sachzusammenhang deuten:

Unpräzise Formulierungen können von Fachleuten durchaus erkannt werden. Hier geht es aber im Wesentlichen um diejenigen, die Hilfe suchen und genau das eben nicht können und dann falsche Schlüsse ziehen. Das führt immer wieder dazu, dass man ein falsches Verständnis entwickelt.

Diejenigen, die solche Aussagen tätigen und derart ungenau arbeiten, können meines Erachtens einfach kein Interesse an einer ernsthaften und vor allem nachhaltigen Hilfestellung haben. Denn sowas kann unter Umständen mehr Schaden anrichten als Hilfe sein.

Answer 2

In allen Schulen Deutschlands ist für Schüler*innen der Einsatz digitaler Werkzeuge obligatorisch. Deshalb ist es nicht abwegig anzunehmen, dass zur Lösung ein solches Werkzeug erlaubt ist.