Im Aufgabentext versteckte Wendepunkte

Question

Hallo zusammen,

ich bin ich mir nicht sicher, wann man bei Textaufgaben Wendepunkte und wann man Extrempunkte berechnen muss.

Kann man dies der Aufgabe entnehmen? Wenn ja, worauf müsste ich dann bei der Aufgabenstellung achten?

Ich wäre echt froh, wenn jemand meine Frage beantworten könnte.

Vielen Dank schon mal im voraus.

Comments

Wo bist du auf dieses Problem gestoßen? Ich vermute mal bei sowas wie:

f(x) gibt die Zu- oder Abnahme an oder f(x) gibt den Bestand an ???

Answer 1

Wenn in der Aufgabe steht, berechne den Wendepunkt, dann berechne den Wendepunkt.

Wenn in der Aufgabe steht, berechne den Extrempunkt, dann berechne den Extrempunkt.

Diese Regel ist aber geheim, patentgeschützt und steuerpflichtig.

Comments

aber nicht in jeder Aufgabe steht das drin.

es gab zum beispiel eine Aufgabe wo stand : berechne, an welcher Stelle das Gefälle der Piste am niedrigsten ist.

—> wir mussten den Wendepunkt bestimmen.

ich verstehe nicht warum. woher weiß man das ?

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Achso. Ich nehme an, bei der Piste interessiert das Abwärtsfahren, also negative Steigung. Vor der Stelle wo die Steigung am niedrigsten (steilsten) ist, nimmt die Steigung ab. Danach steigt sie wieder, und es geht weniger steil abwärts. Wenn die Piste von links nach rechts geht im Koordinatensystem, ist vor der Stelle niedrigster Steigung die Kurve rechtsgekrümmt, danach linksgekrümmt. Das ist die Wendestelle.

Oder es geht aufwärts, und mit "niedrigster Steigung" ist die flachste Stelle gemeint. Dann ändert dort die Kurve von rechts- zu linksgekrümmt, und es ist ebenfalls eine Wendestelle:

 

Answer 2

es gab zum beispiel eine Aufgabe wo stand : berechne, an welcher Stelle das Gefälle der Piste am niedrigsten ist.

—> wir mussten den Wendepunkt bestimmen.

Mach Dir klar, was Extremum/Wendepunkt bedeutet, z.B. die Bedeutung am Graphen. Danach stellt sich das Problem nicht mehr. Wenn Du jetzt Regeln auswendig lernst, ohne sie zu verstehen, bist Du früher oder später doch wieder verwirrt.

Funktionswert am größten/kleinsten: Extrema gesucht.

Gefälle (Steigung/Ableitung) am größten/kleinsten: Extrema von \(f'\) sind gesucht. Dazu muss die zweite Ableitung null sein (weil das die Ableitung von \(f'\) ist).

Comments

Deine Formulierung am Ende ist unpräzise.

Dein Satz: ,,Dazu muss f’’ = 0 sein‘‘ kann falsch verstanden werden.

Ich verstehe strenggenommen daraus, das die Ableitung die Nullfunktion sein muss…

Richtig wäre: Um f’ : X —> |R mit X ⊂ |R auf mögliche Extrema zu untersuchen, suchen wir zuerst die kritischen Stellen v ∈ X von f’, also die v ∈ X wo f’’(v) = 0 erfüllt wird, d.h. die Ableitung f’’ von f’ verschwindet.

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Aus diesem Grund gibt es \( f''\equiv 0 \).

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Ich weiß ja, dass es schwerfällt, Leute aufgrund von Kleinigkeiten zu kritisieren.

Kennt irgendjemand ein Schulbuch, indem

\( f'' \equiv 0 \)

benutzt wird, nur damit die Schüler ja nicht glauben, die zweite Ableitung müsse die Nullfunktion sein?

Ich kenne kein Schulbuch, indem es benutzt wird. Und wenn Schulbücher f'' = 0 benutzen dürfen und es klar ist, was gemeint ist, warum sollten wir hier pingeliger sein als Schulbücher?

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In keinem seriösen Buch würde f“ = 0 stehen. Ich finde das ist schon wichtig. Vorallem in der Mathematik spielt Notation eine grosse Rolle und kann zu Missverständnissen führen…!

Übrigens ging es in meiner Kritik nicht primär um diese Notation, sondern in die falsche und missverständliche Ausdrucksweise von nudger.

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In keinem seriösen Buch würde f“ = 0 stehen.

Stimmt. In meinem steht f''(x) = 0.

Und das ist nicht das einzige, wo das drin steht.

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Die Kritik ist ja schon nachvollziehbar. Dass sie allerdings von jemandem kommt, der es regelmäßig in seinen Beiträgen auch nicht so genau nimmt, wo es dann auch noch viel schwerwiegender ist als hier, finde ich irgendwie lustig. Wer im Glashaus sitzt...

Es ergibt sich aus dem Kontext, was gemeint ist und hier würde auch kein Schüler auf die Idee kommen zu denken, es wäre die Nullfunktion gemeint. Die von Txman regelmäßig "ausgeschmückte Notation" ist auf dieser Plattform mindestens genauso unangebracht, weil sie regelmäßig die Kompetenz der Fragesteller übersteigt, insbesondere dann, wenn kein Formelsatz verwendet wird. Da finde ich das \( f"=0 \) in diesem Fall tatsächlich weniger dramatisch.

Man muss also einen guten Mittelweg finden aus mathematischer Einfachheit und mathematischer Korrektheit, solange der Kontext nicht darunter leidet.

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sondern in die falsche und missverständliche Ausdrucksweise von nudger.

Nein, es ging um eine Retourkutsche für meine Kritik an Deinem falschen Beweis ("Problem mit Beweis im Skript..."). Anstelle dass Txman den korrigiert, werden wie üblich Ausreden geliefert. Dann schaut man mal, ob man beim Kritiker auch was findet. Armselig.

In dieser Frage hier ging es um Sprachverständnis. Ich hab die Antwort auf diesen Aspekt hin nun korrigiert.

Answer 3

wann man bei Textaufgaben

Wenn in Textaufgaben Funktionen vorkommen, dann solltest du dir zunächst darüber Gadanken machen, wofür die freie Variable und wofür der Funktionswert steht.

an welcher Stelle das Gefälle der Piste am niedrigsten ist.

Diese Angaben reichen nicht aus um zu entscheiden, wofür die freie Variable und wofür der Funktionswert steht. In der Aufgabenstellung steht vermutlich noch ein Satz wie

         Die Funktion f(x) = ... beschreibt das Profil der Piste.

Die freie Variable x ist dann die horizontale Entfernung vom Anfang und der Funktionswert f(x) ist die Höhe der Piste an dieser Stelle. Das Gefälle ist dann die Steigung der Piste (also die Ableitung) und du musst eine Extremstelle von f' bestimmen. Extremstellen von f' sind Wendestellen von f. Also musst du in diesem Fall eine Wendestelle von f bestimmen.

Es könnte aber auch sein, das in der Aufgabenstellung etwas wie

        Die Funktion g(x) = ... beschreibt die Änderungsrate der Höhe der Piste.

steht. Dann ist g = f' und du musst eine Extremstelle von g bestimmen.