Da trance schon das Sternchen bekommen hat, gehe ich davon aus, dass die Aufgabe vom FS bereits gelöst wurde und eine Lösung als Antwort ihn nicht spoilern würde. Hier mein Lösungsvorschlag der Vollständigkeit halber, falls jemand an einer Lösung interessiert war.
Wir können explizit ausrechnen, wobei wir \(m=qn+r\) schreiben per Division mit Rest. (Der Fall \(m<n\) ist nicht möglich und der Fall \(m=n\) ist klar.)
$$\frac{a^m - 1}{a^n - 1} = \frac{a^{qn} a^r - 1}{a^n - 1} = a^r \frac{\left(a^n\right)^q - 1}{a^n - 1} + \frac{a^r - 1}{a^n - 1}.$$
Hier sind wir fertig, denn: Der Bruch \(\frac{a^m - 1}{a^n - 1}\) ist nach Annahme eine ganze Zahl. Nach der letzten Umformung haben wir als linken Summanden eine Ganzzahl stehen, weil da einfach nur die geometrische Summe \(a^r \sum\limits_{k=0}^{q-1} a^{kn}\) steht, damit ist die rechte Seite auch eine Ganzzahl. Da aber klar \(0\leq \frac{a^r - 1}{a^n - 1}<1\) gilt, ist \(r=0\) und damit \(n\) ein Teiler von \(m\).
