Löse die Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Question

Aufgabe:

Berechne die Differentialgleichung zweiter Ordnung.

\(t x'' - (t - 1)x' - 2x = 0, \\ \quad x(0) = 1, \quad x'(0) = 2 \)

Problem/Ansatz:

Kann mir da jemand helfen? Ich komme gar nicht zu einem vernünftigen Ergebnis. Kann man das überhaupt lösen? Internet-Rechner für Differentialgleichung sagen, dass es nicht funktioniert.

Einer meiner Kommilitonen meinte mal, dass er es mit Laplace Transformation gemacht hat. Ich weiß aber nicht, wie man es mit Laplace Transformation berechnet, da die Gleichung an sich schon merkwürdig ist.

Comments

Wie sieht denn dein Rechenweg dazu aus?

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Laplace von \(t x''(t)\):

\(\mathcal{L}\{t x''(t)\} = -\frac{d}{ds} \left(s^2 X(s) - s - 2\right)\)

\(= -\left(2s X(s) + s^2 \frac{dX(s)}{ds} - 1\right)\)

Laplace von \((t-1) x'(t)\):

\(\mathcal{L}\{(t-1) x'(t)\} = -\left(X(s) + s \frac{dX(s)}{ds}\right) - (s X(s) - 1)\)

Laplace von \(-2x(t)\):

\(\mathcal{L}\{-2x(t)\} = -2 X(s)\)

=> Gesamte transformierte Gleichung:

\(-\left(2s X(s) + s^2 \frac{dX(s)}{ds} - 1\right) - \left(X(s) + s \frac{dX(s)}{ds}\right) - (s X(s) - 1) - 2X(s) = 0\)

\(-2s X(s) - s X(s) - X(s) - 2X(s) - s^2 \frac{dX(s)}{ds} - s \frac{dX(s)}{ds} + 2 = 0\)

\(-(3s + 3) X(s) - (s^2 + s) \frac{dX(s)}{ds} + 2 = 0\)

<=> \((3s + 3) X(s) + (s^2 + s) \frac{dX(s)}{ds} = 2\)

<=> \(\frac{dX(s)}{ds} = \frac{2 - (3s + 3) X(s)}{s^2 + s}\)

\(s^3 \frac{dX(s)}{ds} = \frac{2s^3}{s(s + 1)}\)

Danach habe ich integriert

\(s^3 X(s) = \frac{2}{3} s^3 + C\)

Also;

\(X(s) = \frac{2}{3} + \frac{C}{s^3}\)

und danach Rücktransformation:

\(x(t) = \frac{2}{3}\)

Ich weiß wie gesagt nicht ob es überhaupt richtig ist was ich gerechnet habe. Ich habe versucht es mit Laplace transformation zu machen. Ich habe irgendwie versucht eine Lösung zu finden... Das ist einer der Rechenwege die ich gemacht habe

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Wenn ich Deine Rechnung richtig verstanden habe, hast Du das Minus vor (t-1) übersehen

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Oh, ja. Stimmt!

Aber macht meine Rechnung ans sich Sinn?

Weil ich habe nicht wirklich verstanden nach welcher Regel e basiert. Als ich chat GPT gefragt habe, meinte er das es nach dieser Regel basiert:

\(\mathcal{L}({tf(t)})= - \frac{d}{ds} \mathcal{L}({f(t)})\).

Ich habe dann versucht mit dieser Regel weiter zu rechnen. Aber ich weiß halt nicht ob es richtig ist.

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Aber ich weiß halt nicht ob es richtig ist.

Was ist dass den für eine dumme Bemerkung? Die Antwort steht in Dutzenden von Fachbüchern und auf Dutzenden von WEB-Seiten. Und wenn man den Ausbildungsstand erreicht hat, mit Laplace-Transformationen arbeiten zu sollen, dann ist die rechnerische Überprüfung dieser Regel ein Nichts an Arbeit.

Wenn Du Deinen Rechenfehler behoben hast, kannst Du auch die Lösung auf Deinem Weg bestimmen.

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Was ist das für ein bescheuerter Kommentar! Wenn du nicht helfen willst, dann hör auf solche unnötigen Kommentare zu schreiben!

Das ich gesagt habe, dass ich nicht weiß ob es richtig ist, habe ich nur gesagt weil ich nicht genau weiß , ob die Art und Weise (wie z.b die Rechenregel) hier richtig angewendet wurde!

Schließlich haben wir solche fälle nicht in der VL behandelt!

Wenn du es angeblich besser weiß, dann sag doch einfach ob die Rechenregel hier richtig ist oder ob es eine einfache Möglichkeit diese Aufgabe zu berechnen!

Meine Güte! Wozu gibt es Mathelounge wenn du meinst, dass ALLES in den Büchern steht!

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Du hast 15 Stunden auf eine Antwort gewartet, die Du in5 Minuten Recherche oder Nachdenken selbst hättest geben können.

Außerdem habe ich Dir gesagt, dass Dein Ansatz richtig ist und Dich über Deinen Rf informiert-eine typische Aufgabe der ML

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Ist die Dgl richtig abgeschrieben (die Zeile dadrüber ja sicherlich nicht)? Lautet die Dgl vlt ....+2x=0 (anstelle von ...-2x=0)?

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Um den Ansatz des FS abzuschließen: Man erhält die lineare Differentialgleichung

$$X'(s)=\frac{s+1}{s-s^2}X(s) \Rightarrow X(s)=c\frac{s}{(s-1)^2}$$

mit der Rücktransformation \(x(t)=\exp(t)(1+t)\)

Answer 1

Aloha :)

Ich finde Laplace hier etwas überdimensioniert, weil man die Lösung eigentlich schnell sieht. Dazu formen wir die Gleichung ein wenig um:$$tx''-(t-1)x'-2x=0\quad\big|+x$$$$tx''-tx'+x'-x=x$$$$x=t\cdot(x''-x')+(x'-x)$$$$x=t\cdot(x'-x)'+(x'-x)$$

Für Funktionen der Form "lineare Funktion mal e-Funktion" gilt:$$x(t)=(at+b)\cdot e^t$$$$x'(t)=a\cdot e^t+(at+b)\cdot e^t=a\cdot e^t+x(t)\implies x'(t)-x(t)=a\cdot e^t$$

Dieser Ansatz passt wunderbar zu dem Problem hier:$$x=t\cdot\underbrace{(x'-x)'}_{=a\cdot e^t}+\underbrace{(x'-x)}_{=a\cdot e^t}=(at+a)\cdot e^t$$

Aus den Randbedingungen folgt noch \(a=1\), sodass:$$x(t)=(t+1)\cdot e^t$$

Comments

Vielen Dank für deine Antwort!

Am Anfang hatte ich auch geplant es ohne Laplace zu rechnen, allerdings hatte ich die Aufgabe falsch verstanden und musste es deshalb in Laplace Rechnen TwT