Laplace von \(t x''(t)\):
\(\mathcal{L}\{t x''(t)\} = -\frac{d}{ds} \left(s^2 X(s) - s - 2\right)\)
\(= -\left(2s X(s) + s^2 \frac{dX(s)}{ds} - 1\right)\)
Laplace von \((t-1) x'(t)\):
\(\mathcal{L}\{(t-1) x'(t)\} = -\left(X(s) + s \frac{dX(s)}{ds}\right) - (s X(s) - 1)\)
Laplace von \(-2x(t)\):
\(\mathcal{L}\{-2x(t)\} = -2 X(s)\)
=> Gesamte transformierte Gleichung:
\(-\left(2s X(s) + s^2 \frac{dX(s)}{ds} - 1\right) - \left(X(s) + s \frac{dX(s)}{ds}\right) - (s X(s) - 1) - 2X(s) = 0\)
\(-2s X(s) - s X(s) - X(s) - 2X(s) - s^2 \frac{dX(s)}{ds} - s \frac{dX(s)}{ds} + 2 = 0\)
\(-(3s + 3) X(s) - (s^2 + s) \frac{dX(s)}{ds} + 2 = 0\)
<=> \((3s + 3) X(s) + (s^2 + s) \frac{dX(s)}{ds} = 2\)
<=> \(\frac{dX(s)}{ds} = \frac{2 - (3s + 3) X(s)}{s^2 + s}\)
\(s^3 \frac{dX(s)}{ds} = \frac{2s^3}{s(s + 1)}\)
Danach habe ich integriert
\(s^3 X(s) = \frac{2}{3} s^3 + C\)
Also;
\(X(s) = \frac{2}{3} + \frac{C}{s^3}\)
und danach Rücktransformation:
\(x(t) = \frac{2}{3}\)
Ich weiß wie gesagt nicht ob es überhaupt richtig ist was ich gerechnet habe. Ich habe versucht es mit Laplace transformation zu machen. Ich habe irgendwie versucht eine Lösung zu finden... Das ist einer der Rechenwege die ich gemacht habe
