Realteil einer komplexen Zahl bestimmen

Question

Ich muss den Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl \( e^{2*π*i/10} \) bestimmen. Der Imaginärteil ist vorgegeben und lautet \( \sqrt{(5-\sqrt{5})/8} \) (Taschenrechner nicht erlaubt) 

Bei vorherigen Aufgaben musste ich zum Beispiel die komplexe Zahl \( e^{2*π*i/2} \) bestimmen, was ich ja einfach in die Eulersche Formel einsetzen konnte und bekam dafür die klassischen Bogenmaße die man ja kennt. Jedoch habe ich in der Eulerschen Formel jetzt für die Aufgabe: cos(π/5) + i * sin(π/5). An sich könnte man das ja einfach in den Taschenrechner geben, jedoch ist der in dieser Klausur nicht erlaubt gewesen, weshalb ich mich frage wie man jetzt auf den Realteil kommt, da der cos und sin von π/5 nicht in der klassischen Bogenmaßtabelle die man kennt, vorkommt.  

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Benutze die Tatsache, dass der Betrag der gesuchten komplexen Zahl gleich 1 ist. Bestimme damit den Betrag des fehlenden Realteils.

Überlege dann, in welchenm Quadranten die komplexe Zahl liegt und bestimme damit das Vorzeichen des Realteils

Answer 1

Gegeben sei z := exp((2π/10)i) ∈ C.

Allgemein hat eine komplexe Zahl u ∈ C die Eulerform u = |u| exp(arg(u)i).

Hierbei ist |u| ∈ |R der Betrag und arg(z) ∈ |R das Argument (der Winkel).

In dem Falle gilt z = 1*exp((2π/10)i). Also ist der Betrag von z dann |z| = 1.

Nun sei z = x+yi die gesuchte kartesiche Form, wobei x = Re(z) ∈ |R (Realteil von z) und y = Im(z) ∈ |R (Imaginärteil von z) ist.

Du weisst, das y = Im(z) = sqrt((5-sqrt(5))/8). Nun kennst du auch den Betrag |z| = 1 und übrigens gilt vorallem auch die Tatsache, das  |z| = sqrt(x^2 + y^2) gilt.

Also bekommen wir die Gleichung

sqrt(x^2 + y^2) = 1 <=> x^2 + y^2 = 1

Hier kannst du nun den bekannten Imaginärteil y einsetzen und die Gleichung x^2 + y^2 = 1 dann nach x = Re(z), dem Realteil, auflösen.

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@leonard: Für den letzten Schritt beachte dann die oben gegebenen Hinweise.

Answer 2

Laut Hinweis ist Dir ja \(\sin \varphi\) vorgegeben. Um daraus dann \(\cos\varphi\) zu bestimmen, nutzt man Zusammenhänge zwischen \(\sin\) und \(\cos\). Ich würde hier den trig. Pythagoras verwenden. Mehrdeutigkeiten schließt man durch eine simple Skizze der Zahl in der komplexen Zahlenebene aus.

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Sinus und Cosinus braucht man hier gar nicht :)

Answer 3

2π/10 (also 36°) gehört zum ersten Quadranten.

Der \(\cancel{Imaginärteil}\) Realteil ist damit cos(π/5). Das ist eine für meine Begriffe akzeptable Antwort (auch ohne trig. Pythagoras).

Comments

Ist der Imagimärteil nicht eher sin(π/5)?

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Ja, der Imaginärteil war ja auch so gegeben. Ich meinte Realteil und habe es gerade korrigiert. Danke.

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Aber der Realteil ist \(\cos \frac\pi5\) (nicht \(\arccos\)) und das wusste der FS auch schon.

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Ja. Wird Zeit, den Rechner für heute mal auszuschalten.