Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen und Differentialquotienten

Question

Aufgabe:

An welchen Stellen sind die folgenden Funktionen komplex differenzierbar? Begründen Sie jeweils sowohl über die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen als auch über den Differenzenquotienten.
i) f(z) :=  z(komplex konjugiert)*z(normal) ²
ii) f(x + iy) := x ³ − 3xy ² + i(3x ²y − y ²)

Problem/Ansatz:

Zuerst Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen:

i)  f(z)=(x−iy)(x+iy)²=(x−iy)(x²+2ixy−y ²) = x³  +xy²+ i(x²y+y³)

u(x,y)= x ³ +xy²   v(x,y)=(x²y+y ³)

∂u/ ∂x = 3x ² +y²   ∂u/ ∂y  = 2xy

∂v/ ∂x =  2xy  ∂v/ ∂y=  x ² +3y ²

^{∂u/ ∂x =∂v/ ∂y und ∂u/ ∂y= -∂v/ ∂x}

^{Diese Gleichungen sind im Allgemeinen nicht erfüllt, außer im Fall
x=0 und y=0 (also bei z=0). Daher sind die Cauchy-Riemann-Gleichungen nur an der Stelle z=0 erfüllt.}

^{Stimmt das so ? Ich bin mir nicht sicher ob ich das vorgehen richtig angewandt habe.}

ii) f(x + iy) := x ³ − 3xy² + i(3x 2y − y²)
u(x,y)= x³  − 3xy² v(x,y)= (3x 2y − y² ) wo ich mit u/ ∂x =∂v/ ∂y und ∂u/ ∂y= -∂v/ ∂x auf das komme:

3x ²−3y²=3x ²−3y ²

−6xy=−6xy

Diese Gleichungen sind für alle x und y erfüllt und somit komplett diffbar.

Jetzt kommt das mit dem Differentialquotienten wo ich meine Probleme habe, da müsste jetzt ja das gleiche rauskommen oder ?

Bei i)

Ist das so richtig? darf ich einfach das f(0) annehmen?
wie würde das für ii) aussehen, ich hab bei ii) nämlich was anderes als beim Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen herausbekommen kann das sein?

Comments

Kann es sein, dass bei II am Ende y^3 steht?

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Oh ja da hab ich mich vertippt es ist eigentlich :

f(x + iy) := x ³ − 3xy² + i(3x²y − y³)
ich habs beim ableiten die richtige genommen aber beim exponentnen machen vertippe ich mich auch mal

Answer 1

Zu i) Deine CRD sind richtig, aber es reicht nicht einfach zu sagen, dass die nur für z=0 erfüllt sind. Das muss man schon nachweisen.

Beim DQ hast Du nur z=0 betrachtet. Du sollst aber generell Differenzierbarkeit prüfen. Außerdem ist hier die Zerlegung von h nicht nötig. Ergebnis: \(DQ=\bar h\, h \to 0\) für \(h\to 0\) wg der bekannten Stetigkeit, damit ist \(f\) in \(z=0\) differenzierbar mit \(f'(0)=0\). Nun kommt noch die Untersuchung für \(z\neq 0\)...

Zu ii) CRD ist richtig. Und für den DQ sollte das gleiche rauskommen (nämlich auf \(\mathbb{C}\) differenzierbar). Du musst den DQ allgemein in \(z\) ansetzen und die Konvergenz nachweisen.

Comments

Ich habe die Aufgabe mit meinem Wissen bearbeitet, es wäre jetzt echt toll wenn du mir einen Ansatz geben könntest, wenn ich wüsste wie ich das bei i) nachweisen könnte hätte ich es gemacht.  Wie funktioniert das?

wenn \(z\neq 0\)..

Text erkannt:

\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\left(\overline{z+h} \cdot(z+h)^{2}\right)-\left(\bar{z} \cdot z^{2}\right)}{h} \).

der Grenzwert des Differenzenquotienten hängt von der Richtung ab, in der wir uns
h→0 nähern, somit ist der Differenzenquotient nicht wohldefiniert, wenn ≠0 Dies bedeutet, dass die Funktion  an keiner anderen Stelle als z=0 differenzierbar ist.

Reicht das ?

zu ii) schön zu hören das da die CRD zumindest schon stimmt, aber warum Konvergenz?

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Generell: \(\lim\) darf man erst schreiben, wenn er existiert. Das wissen wir hier ja erstmal nicht. Auch wird die Rechnung ohne \(\lim\) sauberer und sicherer.

Zu i)

Den Ansatz hast Du ja, nun rechne aus. Ich komme dann auf \(DQ=\frac{\bar h}h z^2+...\), wobei \(...\) für unkritische Terme für \(h\to 0\) steht. Nun betrachte spezielle konkrete(!) Nullfolgen für \(h\) um die Konvergenz von \(DQ\) für \(h\to 0\) zu widerlegen. Du siehst dann auch, dass für \(z=0\) alles gut geht.

Zu ii) Vorgehen genauso, sollte einfacher sein, weil ja Konvergenz für alle \(z\) vorliegen sollte.

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Das einzige was mir einfällt ist das ich unterschieden kann real und imaginär,

Fall 1: \(h\) entlang der reellen Achse
Wenn wir \(h\) entlang der reellen Achse gegen \(0\) schicken, also \(h = a\) und \(b = 0\), dann ist \(\overline{h} = h\). Somit gilt:
In diesem Fall wird der Differenzenquotient zu:
\(\overline{h} / h\) = 1
DQ = z ²
Fall 2: \(h\) entlang der imaginären Achse:Wenn wir \(h\) entlang der imaginären Achse gegen \(0\) schicken, also \(h = ib\) und dann ist \(\overline{h} = -ib\). Somit gilt:

In diesem Fall wird der Differenzenquotient zu:
\(\overline{h} / h\) = -1
DQ = -z ².
Darf ich dann daraus schließen, es existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht einheitlich.

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Nochmal: unterscheide DQ und dessen Grenzwert.

Deine Überlegung ist richtig, gilt aber nicht für alle \(z\). Noch einfacher ist es, wie schon gesagt, mit konkreten(!!!) Nullfolgen. Außerdem sind für den Grenzwert auch die Terme, die ich oben mit "..." abgekürzt habe, relevant.

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Ich steh echt am schlauch, warum gilt das jetzt nicht für alle z? Ich hab real und imaginär abgedeckt?

wenn ich ne Nullfolge habe z.b. 1/n und das anwende habe ich das gleiche

Setzen wir \(h_n = \frac{1}{n}\) (eine Folge reeller Zahlen) in den Differenzenquotienten ein. Dann gilt:
Der Ausdruck \(\frac{\overline{h_n}}{h_n}\) wird:
\(\overline{h} / h\) =  (1/n) / (1/n) =1
Für diese spezielle Nullfolge ergibt sich:

DQ = z^2.

und imaginär :
er Ausdruck \(\frac{\overline{h_n}}{h_n}\)  \(\frac{{h_n}}{h_n}\) wird:
 -\(\frac{{i}}{n}\) /  \(\frac{{i}}{n}\) = -1.

Frage 1) Du meintest ja das beim CRD auch noch was fehlt wie kann ich das nachweisen ? z=0
Frage 2) Ich dachte ich kann die neben Terme einfach beim Grenzwert weglassen, da sie 0 werden?

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Bitte lies und beachte meine Kommentare, damit wir hier zügig vorankommen.

"DQ = z^2" Dazu im vorigen Kommentar: "Nochmal... . ... Außerdem...".

Die Rechnung gilt für alle z, aber: "Darf ich dann daraus schließen,...": Nicht für alle z.

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Ich habe deinen Kommentar gelesen, Grenzwert ist es mit Limes beim Grenzwert muss man sich das ganze anschauen aber ich dachte man kann den Rest vernachlässigen da es eh 0 wird , -> den Grenzwert brauche ich doch gar nicht oder? (Verwirrung )

DQ ist f(z+h)-f(z)}/{h} in diese Formel habe ich nun eine konkrete nullfolge eingesetzt, war das nicht was du gemeint hast? Ich drehe mich hier leider im Kreis , da ich beim einsetzten ja wieder das gleiche heraus bekommen habe und dachte das ist ein Ergebnis das ich so möchte.

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Und nochmal: DQ=z^2 stimmt nicht, weil DQ enthält noch einiges mit h. Und der Grenzwert ist nicht z^2, wie ich im vorigen Kommentar erklärt habe. Das für den Fall \(h\to 0, h\in \R\). Für den Fall \(h\to 0, h\in i\R\) gilt das gleiche mit \(-z^2\).

Schreib es einmal sauber und vollständig auf, Muster

\(DQ=\frac{\bar h}h z^2+... \to ...\) für \(h\to 0,\, h\in \R\) und

\(DQ=\frac{\bar h}h z^2+... \to ...\) für \(h\to 0,\, h\in i\R\)

und dazu Deine Schlussfolgerung. Natürlich die ... ausschreiben.

Was erhältst Du also für das Ende der beiden Zeilen, also \( \to ...\) für \(h\to 0,\, h\in \R\) und \(\to ...\) für \(h\to 0,\, h\in i\R\)?

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Grenzen untersuchen

Term \(2\overline{z} z\) bleibt konstant.
Term \(\overline{z} h\) geht gegen \(0\).
Term \(\frac{\overline{h}}{h} z^2\) hängt von der Wahl von \(h\) ab.

Term \(2\overline{h} z\) geht gegen \(0\).

Term \(\overline{h} h\) geht gegen \(0\).

Analyse von \(\frac{\overline{h}}{h}\)
Je nachdem, wie \(h\) gewählt wird, ändert sich dieser Ausdruck:
-Entlang der reellen Achse: \(\frac{\overline{h}}{h} = 1\)
Entlang der imaginären Achse: \(\frac{\overline{h}}{h} = -1\)

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Das ist DQ, richtig, wenn Du jetzt noch bitte kürzen würdest?

Nochmal meine Frage: Was erhältst Du also für das Ende der beiden Zeilen, also \( \to ...\) für \(h\to 0,\, h\in \R\) und \(\to ...\) für \(h\to 0,\, h\in i\R\)? Zwei klare Antworten bitte (beachte Muster oben).

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Ich erhalte h→0 entlang der reellen Achse:\(2\overline{z} z\)+0+0+0+0=\(2\overline{z} z\) h→0,h∈R.

Ich erhalte entlang der imaginären Achse:-\(2\overline{z} z\)+0+0+0+0=−\(2\overline{z} z\) für h→0,h∈iR.

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Für den mittleren Term hast Du vorher was anderes ausgerechnet. Und der erste stimmt nicht.

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Seltsam meine Bearbeitung wurde nicht übernommen:

\(2\overline{z} z\) +\(\frac{\overline{h}}{h} z^2\) -> mit 1- > \(2\overline{z} z\) + z^2

\(2\overline{z} z\) +\(\frac{\overline{h}}{h} z^2\) -> mit- 1- > \(2\overline{z} z\) - z^2

Der Rest ist ja null

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Jetzt hast Du auf der linken Seite wieder Grenzwert und DQ gemischt, und der Rest ist nicht richtig lesbar.

Dann beantworte ich meine Fragen eben selbst, vgl. Muster:

Wir erhalten

\(DQ=\frac{\bar h}h z^2+... \to 2z\bar z +z^2\) für \(h\to 0,\, h\in \R\) und

\(DQ=\frac{\bar h}h z^2+... \to 2z\bar z -z^2\) für \(h\to 0,\, h\in i\R\).

Kannst Du jetzt die Schlussfolgerung daraus formulieren?

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Da die DQ unterschiedlich sind zeigt dies das der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht eindeutig existiert.

Nur an der Stelle z=0 kann man sagen, dass die Funktion komplex differenzierbar ist, da der Grenzwert für DQ an dieser Stelle immer 0 ergibt.

Somit ist der DQ abgeschlossen zu überprüfen.

Nun noch die frage von mir vorhin: " Zu i) Deine CRD sind richtig, aber es reicht nicht einfach zu sagen, dass die nur für z=0 erfüllt sind. Das muss man schon nachweisen." Wie weise ich das nach?

3x ²+y ² = 2xy ->
∂v/ ∂x =  2xy ∂v/ ∂y=  x² +3y²
∂u/ ∂x =∂v/ ∂y

und ∂u/ ∂y= -∂v/ ∂x

Wenn z≠0 ist, bedeutet das, dass entweder x≠0 oder y≠0
weil beide Terme positiv oder null sind, aber niemals gleichzeitig null, wenn zumindest einer der Werte y,x von null verschieden ist.

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"Da die DQ unterschiedlich sind" stimmt nicht für alle z.

Gehe geordnet vor: Für Differenzierbarkeit ist erforderlich, dass beide Grenzwerte gleich sind, d.h. \(-z^2=z^2\), also nur für \(z=0\). In \(z\neq 0\) ist \(f\) also nicht differenzierbar. In \(z=0\) ist \(f\) diffbar, denn dann gilt \(DQ\to 2z\bar z=0\) für \(h\to 0\) (für alle Grenzübergänge, das musste ja auch noch geprüft werden).

Zur Frage von vorhin: auch hier gehe geordnet vor: Die CRD bilden ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Löse das.

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1. \( 3x^2 + y^2 = 2xy \)
2. \( 2xy = x^2 + 3y^2 \)

Wir wollen nun die Lösungen für \(x\) und \(y\) finden.

3x^2 + y^2 - 2xy = 0

x^2 + 3y^2 - 2xy = 0
Subtrahieren wir die zweite Gleichung von der ersten:

(3x^2 + y^2 - 2xy) - (x^2 + 3y^2 - 2xy) = 0

3x^2 + y^2 - 2xy - x^2 - 3y^2 + 2xy = 0

2x^2 - 2y^2 = 0

x^2 = y^2


Das bedeutet, dass entweder x = y oder x = -y

Einsetzen der Lösungen in die Gleichungen
Fall 1: \(x = y\)

Setzen wir \(x = y\) in die erste Gleichung ein:

3x^2 + x^2 - 2x^2 = 0

2x^2 = 0 -> x = 0


Daraus folgt: x = y = 0
Fall 2: \(x = -y\)

Setzen wir \(x = -y\) in die erste Gleichung ein:

3x^2 + (-x)^2 - 2x(-x) = 0

3x^2 + x^2 + 2x^2 = 0

6x^2 = 0 -> x = 0

Auch in diesem Fall folgt: x = y = 0
Die einzige Lösung des Gleichungssystems ist:

x = 0,y = 0


Das bedeutet, dass der Ursprung \( (0, 0) \) die einzige Lösung des Systems ist.

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Genau, und damit (darum geht es ja) z=0 die einzige Stelle, an der f diffbar ist.

Schau Dir den Aufbau der Argumentation mit DQ nochmal genau an und bearbeite ii) entsprechend analog.