Anzahl der Jahre bis der Endwert der beiden Anlagen gleich ist?

Question

Aufgabe:

Eine Finanzanlage verdoppelt ihren Wert alle 6 Jahre, für eine Anlage dauert das 15 Jahre. Zur Zeit werden in 17200 GE, in 86000 GE investiert. Wieviele Jahre dauert es, bis der Endwert der beiden Anlagen gleich ist?

Problem/Ansatz:

Die Lösung wäre 23,2

Comments

Problem/Ansatz:

Die Lösung wäre 23,2

Das ist weder ein Problem noch ein Ansatz :)

Zudem ist die Lösung nur gerundet 23,2 der exakte Wert ist 10 log₂ 5 = 23,21928 ...

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gelöscht. ----------------

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Aus dem Kontext ergibt sich, dass es im ersten Fall um Anlage 1, im zweiten Fall um Anlage 2 geht. Vermutlich ein Copy&Paste-Fehler aus einer PDF o.Ä. hinaus.

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Die Aufgabe ist schlecht formuliert.

Answer 1

Bestimme für beide Anlagen eine Funktionsgleichung, die den Wert nach \(x\) Jahren angibt. Die allgemeine Form einer solchen Funktion ist \(f(x)=ca^{tx}\), wobei \(c\) der Wert zu Beginn, \(a\) der Wachstumsfaktor und \(t\) ein zusätzlicher Faktor ist, um die Periodenlänge zu regeln. Für die erste Anlage haben wir einen Anfangswert von \(c=17.200\). Bei einem Wachstumsfaktor von \(a=2\) (Verdopplung) alle 6 Jahre, ergibt sich dann \(t=\frac{1}{6}\), da wir \(x\) in Jahren angegeben haben. Wir haben also erst eine Verdopplung, wenn \(x=6\).

Analog machst du das für die zweite Anlage.

Bestimme anschließend die Schnittstelle der beiden Funktionsgraphen. Das liefert das gewünschte Ergebnis.

Answer 2

Löse die Gleichung

\( \displaystyle 17200 \cdot \left(\sqrt[6]{2}\right)^t = 86000 \cdot \left(\sqrt[15]{2}\right)^t \)

Comments

\( \displaystyle 17200 \cdot \left(\sqrt[6]{2}\right)^t = 86000 \cdot \left(\sqrt[15]{2}\right)^t \)

\( \displaystyle 17200 \cdot 2^{t/6} = 86000 \cdot 2^{t/15} \)

\( \displaystyle 2^{t/6} \cdot 2^{-t/15}= 5 \)

\( \displaystyle 2^{5t/30} \cdot 2^{-2t/30}= 5 \)

\( \displaystyle 2^{3t/30}= 5 \)

\( \displaystyle 2^{t/10}= 5 \)

\( \displaystyle t/10= \log_{2} 5 \)

\( \displaystyle t= 10 \cdot \log_{2} 5 \approx 23,21928\)

Answer 3

Wachstumsfaktor1: a= 2^(1/6)Wachstumsfaktor 2: b= 2^(1/15)
17200*a^n= 86000*b^n (a/b)^n = 86000/17200
n= ln(860/172)/ ln(a/b) = 23,2 Jahre