Differentialgleichung f'(x) = e^(f(x)+x^2)

Question

ich habe die Differentialgleichung:

f'(x) = \( e^{f(x) + x^{2}} \) nach f

und möchte diese lösen.

Mein Ansatz wäre gewesen "Trennen der Variablen":

\( \frac{df}{dx} \) = \( e^{f(x)} \) · \( e^{x^{2}} \)

Nun \( e^{f(x)} \) und "dx" auf andere Seite bringen:

\( \frac{1}{e^{f(x)}} \) df = \( e^{x^{2}} \) dx

Nun Integrieren:

\( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{1}{e^{f(x)}} \) df = \( \int\limits_{}^{} \) \( e^{x^{2}} \) dx

Stimmt das soweit?

Wie löse ich nun das Integral auf der rechten Seite? Ich habe von einer Fehlerfunktion "erfi" gehört, doch das scheint in meiner Literatur nicht auf und ich möchte daher damit eigentlich nicht rechnen. So verbleibt nur noch die Reihendarstellung für das rechte Integral zu verwenden, oder?

Comments

Das ist soweit richtig. Aber wie lautet die Aufgabe im Original (vollständig, wörtlich, ungekürzt)?

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Man soll die allgemeine Lösung der DGL für f: T → X T,X ∈ℝ angeben

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"Man soll" steht da wirklich? Und was soll f: T → X T,X ∈ℝ heißen? Nochmal bitte, aus gutem Grund: im Original (vollständig, wörtlich, ungekürzt).

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"Man gebe die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichung für f: T→X mit geeigneten T,X ⊂ ℝ an"

Habe vorhin statt Teilmenge das Elementsmybol angeklickt, sorry

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Ok, aber merkwürdig, dass in der Dgl f(x) steht, in der Aufgabenstellung aber f(t).

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Also f: T→X bedeutet, dass f Elemente aus der Menge T in die Menge X abbildet

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Das ist schon klar, aber wer würde denn schreiben \(f(x):=...\) für alle \(x\in T\)?

Answer 1

Das Integral ist nicht elementar darstellbar. Du kannst mit erfi(x) arbeiten (definiere dies einfach als das, was es ist, oder gib der unbekannten rechten Seite einen eigenen Namen). Es gibt eine Reihendarstellung (steht alles im Internet), aber das ist auch keine elementare Darstellung, und die Herleitung wäre aufwendig.

Ich weiß nicht, was der Sinn dieser Aufgabe ist (wenn die Dgl so lautet).

Comments

Also ich hätte dann:

\( -e^{-f(x)} \) = \( \int\limits_{}^{} \) \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{n!}} \) dx

y(x) = - ln ((-1) · \( \int\limits_{}^{} \) \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{n!}} \) dx)

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Wechsel nicht die Bezeichnungen, bleib bei f(x).

Und wenn Du Reihen verwendest, dann berechne auch das Integral als Reihe (summandenweise integrieren).

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Ups wieder vertippt:

f(x) = - ln ((-1) · \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n+1}}{n! (2n+1)}} \) dx)

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Ja, aber ohne "dx" bitte. Hab im vorigen Kommentar noch was ergänzt.

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Stimmt. Dann vielen Dank für deine Hilfe

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Gerne. Mir kommt das ganze aber weiterhin seltsam vor als Aufgabe. Vielleicht ein Druckfehler.