Definitionsbereich, Ableitung: f(x) = (1+x)√(1-x^2) ³√(1+x^2)

Question

Wie lautet der Definitionsbereich? An welcher Stelle ist die Funktion differenzierbar? Und bestimmen Sie die Ableitung.

f (x) = (1+x) * $$ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } \sqrt [ 3 ]{ 1+{ x }^{ 2 } } $$

Answer 1

f(x) = (1 + x)·√(1 - x^2)·(1 + x^2)^{1/3}

Definitionsbereich.

Der Term unter der Wurzel muss >= 0 sein

1 - x^2 >= 0
-1 ≤ x ≤ 1

f'(x) = √(1 - x^2)·(5·x^2 + 2·x + 3)/(3·(x^2 + 1)^{2/3}) - x·(x + 1)·(x^2 + 1)^{1/3}/√(1 - x^2)

An den Grenzen des Definitionsbereiches ist die Funktion nicht differnenzierbar.

Comments

Wie bist du auf diese Ableitung gekommen? Könntest du die Zwischenschritte aufschreiben?

Und lautet so der Definitionsbereich: D = { x∈ ℝ I (1+x) * √ (1-x²) * (1+x²)^1/3 >= 0} = { x∈ ℝ I 1- x² >= 0 oder -1 <= x <= 1 }

Und wieso muss der Term unter der Wurzel >=0 sein und nicht > 0?

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Benutze die erweiterte Produktregel:

[ u(x) * v(x) * w(x) ]' = u'(x) * v(x) * w(x) + u(x) * v'(x) * w(x) + u(x) * v(x) * w'(x)

Der Definitionsbereich ist

D = [-1 ; 1] in Intervallschreibweise.

Und wieso muss der Term unter der Wurzel >=0 sein und nicht > 0?

Weil du auch aus 0 eine Wurzel ziehen kannst. Die Quadratwurzel ist nur aus negativen Zahlen nicht erlaubt.

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f (x) = (1+x) * (1 - x²)^1/2 * (1 + x²)^1/3

u = (1+x)     Ableitung von u = 1

v = (1-x²)^1/2   Ableitung von v = 1/2 (1 - x²)^-0,5 (-2x)

w = (1+x²)^1/3    Ableitung von w = 1/3 (1+x²)^-2/3

 

ABLEITUNG von f: 

1 * (1-x²)^1/2 * (1+x²)^1/3  +  (1+x) * 1/2 (1-x²)^-0,5 (-2x) * (1+x²)^1/3  + (1+x) * (1-x²)^1/2 * 1/3 (1+x²)^-2/3

Ist diese Ableitung richtig? Und wie kann ich diese Ableitung schrittweise zusammenfassen? 

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vgl. auch 2. Teil von https://www.mathelounge.de/109286/funktion-mit-wurzel-x-x-wo-differenzierbar-bestimmen-der-f-x

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Bei der Ableitung von w bitte die innere Ableitung nicht vergessen. Ansonsten brauchst du die Ableitung auch nicht zusammenfassen. Es ist nur zweckmäßig Zähler und Nenner zu sondieren.